PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
Площадь параллелограмма ABCD равна 28. Точка E — середина стороны AD. Найдите площадь трапеции BCDE.
Даны векторы 
Найдите скалярное произведение векторов 
и 
Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 2. Найдите объем параллелепипеда.
Перед началом волейбольного матча капитаны команд тянут жребий, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Ротор» по очереди играет с командами «Статор», «Стартёр» и «Мотор». Найдите вероятность того, что «Ротор» будет начинать с мячом только вторую игру.
Помещение освещается фонарём с двумя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,5. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.
Найдите корень уравнения 
Найдите значение выражения 
если 
На рисунке изображён график 
—
Мотоциклист, движущийся по городу со скоростью 
км/ч, выезжает из него и сразу после выезда начинает разгоняться с постоянным ускорением 
км/ч2. Расстояние от мотоциклиста до города, измеряемое в километрах, определяется выражением 
где t — время в часах. Определите наибольшее время, в течение которого мотоциклист будет находиться в зоне функционирования сотовой связи, если оператор гарантирует покрытие на расстоянии не далее чем в 154 км от города. Ответ выразите в минутах.
Один мастер может выполнить заказ за 42 часа, а другой — за 21 час. За сколько часов выполнят заказ оба мастера, работая вместе?
На рисунке изображены графики функций видов 
и g(x) = kx, пересекающиеся в точках A и B. Найдите абсциссу точки B.
Найдите точку минимума функции 
а) Решите уравнение 
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
В правильной треугольной призме сторона AB основания равна 2, точка M — середина ребра CC1.
а) Докажите, что сечение A1MB — равнобедренный треугольник.
б) Найдите высоту призмы, если площадь сечения равна 6.
Решите неравенство 
Строительство нового завода стоит 78 млн рублей. Затраты на производство х тыс. ед. продукции на таком заводе равны 
млн
Когда завод будет построен, фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При каком наименьшем значении р строительство завода окупится не более, чем за
Дана трапеция с диагоналями равными 5 и 12. Сумма оснований равна 13.
а) Докажите, что диагонали перпендикулярны.
б) Найдите высоту трапеции.
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение 
либо имеет единственное решение, либо не имеет решений.
В группе поровну юношей и девушек. Юноши отправляли электронные письма девушкам. Каждый юноша отправил или 5 писем, или 16 писем, причём и тех, и других юношей было не менее двух. Возможно, что какой-то юноша отправил какой-то девушке несколько писем.
а) Могло ли оказаться так, что каждая девушка получила ровно 7 писем?
б) Какое наименьшее количество девушек могло быть в группе, если известно, что все они получили писем поровну?
в) Пусть все девушки получили различное количество писем (возможно, какая-то девушка не получила писем вообще). Каково наибольшее возможное количество девушек в такой группе?
Площадь трапеции BCDE равна
Имеем:
км. Задача сводится к нахождению наибольшего решения неравенства 
и a:
ч, то есть 
мин.
часов.
откуда a = 3. тогда уравнение функции имеет вид 
и 
и 
В треугольнике A1MB две стороны равны, то есть он равнобедренный по определению.
Тогда по теореме Пифагора в треугольнике A1B1B:
Найдем высоту треугольника A1BM: в равнобедренном треугольнике она совпадает с медианой. Длину отрезка MO выразим по теореме Пифагора для треугольников A1MO и A1C1M:
откуда
и при 
При 
находим:
то 
или 
причем неравенства обращаются в равенства тогда и только тогда, когда числа равны. Последним неравенством мы и воспользовались в решении: 
при этом цена составит 
и наименьшему значению 
будет соответствовать наименьшее значение p. Подставив выражение для p в неравенство (⁎), получим
Количество выпускаемой продукции должно быть положительной величиной, поэтому минимальное значение 
следовательно, по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник ACC1 — прямоугольный с прямым углом ACC1. Тогда 
что и требовалось доказать.
тогда
также является его решением. Чтобы уравнение имело единственное решение, оно должно иметь корень 
и не должно иметь других корней. Полагая 
находим:
уравнение принимает вид 
и имеет три различных решения: 
поэтому 
то
и имеет единственное решение 
При 
получаем: 
Из неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим заключаем, что
уравнение не имеет положительных корней, а потому, в силу четности левой и правой частей уравнения, не имеет и отрицательных корней, то есть имеет единственный корень 
и 
и 
Обозначим 
Если 
то 
то 
В этом случае верны неравенства 
и 
Значит, уравнение 
имеет решения отличные от нуля, то есть решений больше одного.
и 
то есть при 
и 
решение. Запишем его в виде 2a = 9b. Ясно, что числа a = 9 и b = 2 являются одним из решений. То есть если 9 юношей отправили по 5 писем и двое юношей отправили по 16 писем, то всего они отправили 77 писем, которые можно распределить между 11 девушками так, чтобы каждая получила ровно 7 писем.
число 11b также должно делиться на a + b. Если a + b не делится на 11, то b делится на a + b, что противоречит условиям 
Значит, a + b делится на 11. Наименьшее натуральное число, делящееся на 11, — это 11. Пример того, что девушек может быть ровно 11, приведён в предыдущем пункте.
писем, а число полученных девушками писем не меньше
то есть 
откуда 
что противоречит условию 
Эти письма можно распределить между девушками следующим образом: 30 девушек получили от 0 до 29 писем и ещё одна — 39. Таким образом, наибольшее возможное количество девушек — это 31.