Все боковые ребра четырехугольной пирамиды PKLMN равны KN — стороне основания KLMN. Стороны KL, LM и MN вдвое меньше стороны KN.
а) Докажите, что высота пирамиды, опущенная из вершины Р, проходит через середину KN.
б) В каком отношении, считая от точки Р, плоскость BAL делит высоту пирамиды, если А — середина РМ, а точка В делит ребро PN в отношении 3 : 2, считая от точки Р?
а) Пусть точка H — основание высоты пирамиды PKLMN. Прямоугольные треугольники KPH, LPH, MPH и NPH равны, поскольку катет PH общий, а гипотенузы PK, PL, PM и PN равны. Значит, отрезки HK, HL, HM и HN равны, и четырёхугольник KLMN может быть вписан в окружность с центром H.
Хорды KL и MN равны, значит, ABCD — равнобедренная трапеция. Пусть точка H' — середина ребра KN. Тогда четырёхугольники KLMH' и LMNH' — параллелограммы, поскольку KH' = LM = H'N, a прямые LM и KN параллельны. Следовательно,
Следовательно, точка H' равноудалена от всех вершин трапеции, а значит, точки H и H' совпадают. Таким образом, основание высоты пирамиды является серединой ребра KN.
б) Пусть отрезок AB пересекает продолжение ребра MN в точке T. Обозначим Q точку пересечения отрезков LT и KN. Тогда по теореме Менелая в треугольнике MPN получаем
Из подобия треугольников LTM и QTN следует, что
то есть
Заметим, что отрезок PH лежит в плоскости KPN, тогда отрезки BQ и PH пересекаются в точке C. По теореме Менелая в треугольнике HPN получаем
Ответ: б) HC : CP = 1 : 3, причем точка C лежит вне отрезка HP.