Через точку С на окружности с центром О проведена касательная, пересекающая продолжение диаметра AD за точку D в точке S. Прямая, проходящая через середину хорды CD и точку S пересекает окружность в точках В и G 
а отрезки АС, СО и CD — в точках Т, Е и F соответственно. Прямая BD пересекает отрезки АС и СО точках K и Р соответственно, причем BC параллельна AD.
а) Докажите, что EK : AD = 1 : 6.
б) Найдите площадь четырехугольника KТЕР, если радиус окружности равен 4.
а) Четырехугольник ABCD — вписанная трапеция, следовательно, она равнобедренная и ее диагонали равны. Треугольники BCF и SDF равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Тогда 
и четырехугольник BCSD — параллелограмм. Отрезки CS, BD и AC равны, поэтому треугольник ACS — равнобедренный. Угол CAD равен углу CSD, а угол SCD — углу CAD по теореме об угле между хордой и касательной. Равнобедренные треугольники AOC и SDC равны по стороне и двум углам. Значит,
Получаем, что треугольники BEC и SEO подобны с коэффициентом подобия 
и треугольники BKC и AKD подобны с коэффициентом 
Следовательно, треугольники CKE и CAO подобны, 
Таким образом, 
б) Треугольник OCD — равносторонний. Последовательно получаем:
Из доказанного ранее
откуда
Тогда
Найдем площадь треугольника BPC:
Искомая площадь равна 
Ответ: 