РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Вариант № 8019935

ЕГЭ по математике 04.06.2015. Основная волна. Вариант 537

а)  Решите уравнение $3 косинус 2x минус 5 синус x плюс 1 =0.$

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка Пи ; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 12, а боковое ребро SA равно 13. Точки M и N  — середины рёбер SA и SB соответственно. Плоскость α содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.

а)  Докажите, что плоскость α делит медиану CE основания в отношении 5 : 1, считая от точки C.

б)  Найдите площадь многоугольника, являющегося сечением пирамиды SABC плоскостью α.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

Решите неравенство: $дробь: числитель: 13 минус 5 умножить на 3 в степени x , знаменатель: 9 в степени x минус 12 умножить на 3 в степени x плюс 27 конец дроби \geqslant0,5.$

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Две окружности касаются внутренним образом в точке A, причём меньшая проходит через центр большей. Хорда BC большей окружности касается меньшей в точке P. Хорды AB и AC пересекают меньшую окружность в точках K и M соответственно.

а)  Докажите, что прямые KM и BC параллельны.

б)  Пусть L  — точка пересечения отрезков KM и AP. Найдите AL, если радиус большей окружности равен 10, а BC  =  16.

Решение. а)  Пусть O  — центр большей окружности. Линия центров касающихся окружностей проходит через точку касания, поэтому OA  — диаметр меньшей окружности.

Точка K лежит на окружности с диаметром OA, значит, ∠AKO = 90°. Отрезок OK  — перпендикуляр, опущенный из центра большей окружности на хорду AB. Поэтому K  — середина AB. Аналогично M  — середина AC, поэтому KM  — средняя линия треугольника ABC. Следовательно, прямые MK и BC параллельны.

б)  Опустим перпендикуляр OH на хорду BC. Тогда H  — середина BC. Из прямоугольного треугольника OHB находим, что

$OH= корень из: начало аргумента: OB в квадрате минус BH в квадрате конец аргумента = корень из: начало аргумента: 100 минус 64 конец аргумента =6.$

Пусть Q  — центр меньшей окружности. Тогда прямые QP и OH параллельны. Опустим перпендикуляр QF из центра меньшей окружности на OH. Тогда

$OF = OH минус FH =OH минус QP = 6 минус 5 = 1,$ $PH в квадрате =QF в квадрате =QO в квадрате минус OF в квадрате = 25 минус 1 =24,$ $OP в квадрате =OH в квадрате плюс PH в квадрате = 36 плюс 24 = 60,$

а из прямоугольного треугольника APO находим, что

$AP= корень из: начало аргумента: OA в квадрате минус OP в квадрате конец аргумента = корень из: начало аргумента: 100 минус 60 конец аргумента =2 корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента .$

Отрезок KM  — средняя линия треугольника ABC, поэтому L средина AP. Следовательно,

$AL= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби AP= корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента .$

Ответ: б) $корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента .$

Приведём решение Марии Ковалёвой (Москва).

а)  Проведём общую касательную к окружностям AT, как показано на рисунке слева. Тогда $\angle TAB=\angle ACB$ и $\angle TAB=\angle AMK,$ поскольку угол между касательной и хордой равен половине заключённой между ними дуги. Тогда $\angle ACB=\angle AMK.$ равны Соответственные углы при пересечении прямых KM и BC равны, поэтому данные прямые параллельны.

б)  По обобщенной теореме синусов, в треугольниках AKM и ABC стороны KM и BC относятся так же, как радиусы данных в условии окружностей, то есть как 1 : 2. Следовательно, KM  — средняя линия треугольника ABC, и $AL= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби AP$ по теореме Фалеса. Осталось найти AР.

Опустим перпендикуляр OH на хорду BC (см. рис. справа). Тогда H  — середина BC. Из прямоугольного треугольника OHB находим, что

Треугольник OAP прямоугольный, так как угол OРA опирается на диаметр. Углы OAP и OPH равны по теореме об угле между касательной и хордой. Следовательно, прямоугольные треугольники OAP и OPH подобны по острому углу. Имеем: $OP:OH=OA:OP,$ то есть $OP:6=10:OP.$ Следовательно, $OP= корень из: начало аргумента: 60 конец аргумента .$ По теореме Пифагора $AP= корень из: начало аргумента: 40 конец аргумента .$ Окончательно получаем: $AL= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби AP= корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента .$

Примечание Дмитрия Гущина.

Читатель, изучающий углубленный курс геометрии или занимавшийся в кружке, сразу заметит, что при гомотетии с центром в точке A и коэффициентом 2 меньшая окружность переходит в большую, а хорда KM переходит в хорду BC. Из этого сразу следует и параллельность прямыx KM и BC, и соотношение $BC = 2 KM.$

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

15-го января планируется взять кредит в банке на 19 месяцев. Условия его возврата таковы:

— 1-⁠го числа каждого месяца долг возрастёт на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-⁠го по 14-⁠е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-⁠го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-⁠е число предыдущего месяца. Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 30% больше суммы, взятой в кредит. Найдите r.

Решение. Пусть начальная сумма кредита равна S₀, тогда переплата за первый месяц равна $дробь: числитель: r, знаменатель: 100 конец дроби S_0.$ По условию, ежемесячный долг перед банком должен уменьшиться равномерно. Этот долг состоит из двух частей: постоянной ежемесячной выплаты, равной $S_0/19,$ и ежемесячной равномерно уменьшающейся выплаты процентов, равной

$дробь: числитель: r, знаменатель: 100 конец дроби S_0, дробь: числитель: 18, знаменатель: 19 конец дроби умножить на дробь: числитель: r, знаменатель: 100 конец дроби S_0,..., дробь: числитель: 2, знаменатель: 19 конец дроби умножить на дробь: числитель: r, знаменатель: 100 конец дроби S_0, дробь: числитель: 1, знаменатель: 19 конец дроби умножить на дробь: числитель: r, знаменатель: 100 конец дроби S_0.$

Используя формулу суммы членов арифметической прогрессии, найдём полную переплату по кредиту:

$дробь: числитель: r, знаменатель: 100 конец дроби S_0 левая круглая скобка 1 плюс дробь: числитель: 18, знаменатель: 19 конец дроби плюс ... плюс дробь: числитель: 2, знаменатель: 19 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 19 конец дроби правая круглая скобка = дробь: числитель: r, знаменатель: 100 конец дроби S_0 умножить на дробь: числитель: 1 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 19 конец дроби , знаменатель: 2 конец дроби умножить на 19= дробь: числитель: r, знаменатель: 10 конец дроби S_0.$

По условию общая сумма выплат на 30% больше суммы, взятой в кредит, тогда:

$0,1rS_0=0,3S_0 равносильно r=3.$

Ответ: 3.

Примечание Дмитрия Гущина.

Укажем общие формулы для решения задач этого типа. Пусть на n платежных периодов (дней, месяцев, лет) в кредит взята сумма S, причём каждый платежный период долг сначала возрастёт на r% по сравнению с концом предыдущего платежного периода, а затем вносится оплата так, что долг становится на одну и ту же сумму меньше долга на конец предыдущего платежного периода. Тогда величина переплаты П и полная величина выплат В за всё время выплаты кредита даются формулами

$П = дробь: числитель: r, знаменатель: конец дроби 100 умножить на дробь: числитель: n плюс 1}2 S_0, В = S_0 плюс П = S_0 левая круглая скобка 1 плюс дробь: числитель: {, знаменатель: r конец дроби левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель: 200 конец дроби правая круглая скобка .$

В условиях нашей задачи получаем $дробь: числитель: r левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель: 200 конец дроби S_0 = 0,3S_0,$ откуда для n  =  19 находим r  =  3.

Доказательство формул (для получения полного балла его нужно приводить на экзамене) немедленно следует из вышеприведённого решения задачи путём замены 19 месяцев на n месяцев и использовании формулы суммы n первых членов арифметической прогрессии.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Верно построена математическая модель	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений

$система выражений x в квадрате минус 8x плюс y в квадрате плюс 4y плюс 15=4|2x минус y минус 10|,x плюс 2y=a конец системы .$

имеет более двух решений.

Решение. Преобразуем первое уравнение системы:

$x в квадрате минус 8x плюс y в квадрате плюс 4y плюс 15=4|2x минус y минус 10| равносильно совокупность выражений система выражений x в квадрате минус 8x плюс y в квадрате плюс 4y плюс 15=4 левая круглая скобка 2x минус y минус 10 правая круглая скобка ,2x минус y минус 10 больше или равно 0, конец системы . система выражений x в квадрате минус 8x плюс y в квадрате плюс 4y плюс 15= минус 4 левая круглая скобка 2x минус y минус 10 правая круглая скобка ,2x минус y минус 10 меньше 0 конец системы . конец совокупности . равносильно$ $x в квадрате минус 8x плюс y в квадрате плюс 4y плюс 15=4|2x минус y минус 10| равносильно$
$равносильно совокупность выражений система выражений x в квадрате минус 8x плюс y в квадрате плюс 4y плюс 15=4 левая круглая скобка 2x минус y минус 10 правая круглая скобка ,2x минус y минус 10 больше или равно 0, конец системы . система выражений x в квадрате минус 8x плюс y в квадрате плюс 4y плюс 15= минус 4 левая круглая скобка 2x минус y минус 10 правая круглая скобка ,2x минус y минус 10 меньше 0 конец системы . конец совокупности . равносильно$

$равносильно совокупность выражений система выражений x в квадрате минус 16x плюс y в квадрате плюс 8y плюс 55=0, y меньше или равно 2x минус 10, конец системы . система выражений x в квадрате плюс y в квадрате =25,y больше 2x минус 10 конец системы . конец совокупности . равносильно совокупность выражений система выражений левая круглая скобка x минус 8 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка y плюс 4 правая круглая скобка в квадрате =25, y меньше или равно 2x минус 10, конец системы . система выражений x в квадрате плюс y в квадрате =25,y больше 2x минус 10. конец системы . конец совокупности .$

Тем самым, первое уравнение задаёт объединение дуг $\omega_1$ и $\omega_2$ окружностей радиуса $5$ с центрами в точках $O_1 левая круглая скобка 8; минус 4 правая круглая скобка$ и $O_2 левая круглая скобка 0;0 правая круглая скобка ,$ лежащих ниже и выше прямой $y=2x минус 10$ соответственно (см. рис.), пересекающихся в точках $A левая круглая скобка 5;0 правая круглая скобка$ и $B левая круглая скобка 3; минус 4 правая круглая скобка .$ Заметим, что точка касания $C левая круглая скобка корень из 5 ;2 корень из 5 правая круглая скобка$ лежит на дуге $\omega_2$ и прямая $O_2C$ перпендикулярна прямой $O_1O_2,$ поскольку произведение угловых коэффициентов данных прямых равно −1.

Рассмотрим второе уравнение системы. Оно задаёт прямую m, параллельную прямой $O_1O_2$ или совпадающую с ней.

При $a=5$ прямая m пересекает каждую из дуг $\omega_1$ и $\omega_2$ в точке A и ещё в одной точке, отличной от точки A, то есть исходная система имеет три решения.

Аналогично, при $a= минус 5$ прямая m проходит через точку B и исходная система имеет три решения.

При $a = 5 корень из 5$ прямая m проходит через точку C, значит, прямая m касается дуг $\omega_1$ и $\omega_2,$ то есть исходная система имеет два решения.

Аналогично, при $a= минус 5 корень из 5$ прямая m касается дуг $\omega_1$ и $\omega_2,$ то есть исходная система имеет два решения.

При $минус 5 корень из 5 меньше a меньше минус 5$ или $5 меньше a меньше 5 корень из 5$ прямая m пересекает каждую из дуг $\omega_1$ и $\omega_2$ в двух точках, отличных от точек A и B, то есть исходная система имеет четыре решения.

При $минус 5 меньше a меньше 5$ прямая m пересекает каждую из дуг $\omega_1$ и $\omega_2$ в точке, отличной от точек A и B, то есть исходная система имеет два решения.

При $a меньше минус 5 корень из 5$ или $a больше 5 корень из 5$ прямая m не пересекает дуги $\omega_1$ и $\omega_2,$ то есть исходная система не имеет решений.

Значит, исходная система имеет более двух решений при $минус 5 корень из 5 меньше a\leqslant минус 5$ или $5 меньше или равно a меньше 5 корень из 5 .$

Ответ: $минус 5 корень из 5 меньше a\leqslant минус 5;5 меньше или равно a меньше 5 корень из 5 .$

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого только исключением точек a = −5 и/или a = 5.	3
При всех значениях a верно найдено количество решений системы в одном из двух случаев, возникающих при раскрытии модуля.	2
Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения дуг окружностей и прямых (аналитически или графически) ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Ученики одной школы писали тест. Результатом каждого участника является целое неотрицательное число баллов. Ученик считается сдавшим тест, если он набрал не менее 83 баллов. Из-за того, что задания оказались слишком трудными, было принято решение всем участникам теста добавить по 5 баллов, благодаря чему количество сдавших тест увеличилось.

а)  Могло ли оказаться так, что после этого средний балл учеников, не сдавших тест, понизился?

б)  Могло ли оказаться так, что после этого средний балл учеников, сдавших тест, понизился, и средний балл учеников, не сдавших тест, тоже понизился?

в)  Известно, что первоначально средний балл участников теста составил 90, средний балл учеников, сдавших тест, составил 100, а средний балл учеников, не сдавших тест, составил 75. После добавления баллов средний балл учеников, сдавших тест, стал равен 103, а не сдавших  — 79. При каком наименьшем числе участников теста возможна такая ситуация?

Решение. а)  Пусть было 3 ученика, которые набрали 100, 82 и 2 балла. Средний балл учеников, не сдавших тест  $дробь: числитель: 82 плюс 2, знаменатель: 2 конец дроби = 42$ балла. После добавления баллов у учеников оказалось 105, 87 и 7 баллов. Средний балл учеников, не сдавших тест, составил 7 баллов.

б)  В примере предыдущего пункта средний балл учеников, сдавших тест, первоначально составил 100 баллов, а после добавления баллов составил $дробь: числитель: 105 плюс 87, знаменатель: 2 конец дроби = 96$ баллов.

в)  Пусть всего было N участников теста, сдали тест a учеников, после добавления баллов сдали тест b учеников. Заметим, что средний балл после добавления составил 95. Имеем два уравнения:

90N = 75(N − a) + 100a и 95N = 79(N − b) + 103b,

откуда 15N = 25a, то есть 3N = 5a, и 16N = 24b, то есть 2N = 3b. Таким образом, N ≥ 15.

Покажем, что N могло равняться 15. Пусть изначально 5 учеников набрали по 74 балла, 1 ученик  — 80 баллов и 9 учеников по 100 баллов. Тогда средний балл был равен 90, средний бал учеников, сдавших тест, был равен 100, а средний балл учеников, не сдавших тест, был равен 75. После добавления средний балл учеников, сдавших тест, стал равен 103, средний балл учеников, не сдавших тест, стал равен 79. Таким образом, все условия выполнены.

Ответ: а) да; б) да; в) 15.

№ п/п	№ задания	Ответ
1	510102	б) $корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента .$
2	510103	3.
3	510104	$минус 5 корень из 5 меньше a\leqslant минус 5;5 меньше или равно a меньше 5 корень из 5 .$

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получен один из следующий результатов: — обоснованное решение в п. а; — пример в п. б; — искомая оценка в п. в; — пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

ЕГЭ по математике 04.06.2015. Основная волна. Вариант 537

Ключ

ЕГЭ по математике 04.06.2015. Основная волна. Вариант 537