Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 13 № 673045
i

В но­яб­ре 2025 года пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит на пять лет в раз­ме­ре 420 тысяч руб­лей. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

—  каж­дый ян­варь долг воз­рас­та­ет на 10% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го года;

—  с фев­ра­ля по ок­тябрь каж­до­го года не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить одним пла­те­жом часть долга;

—  в но­яб­ре 2026, 2027 и 2028 годов долг оста­ет­ся рав­ным 420 тыс. руб.;

—  вы­пла­ты в 2029 и 2030 годах равны;

—  к но­яб­рю 2030 года долг будет вы­пла­чен пол­но­стью.

Най­ди­те общую сумму пла­те­жей за пять лет.

ИЛИ

21 июня пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на сумму 840 тыс. руб. на 10 ме­ся­цев. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

—  1 числа каж­до­го ме­ся­ца (на­чи­ная с июля) долг воз­рас­та­ет на 1% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

—  со 2-⁠го по 20-⁠е число каж­до­го ме­ся­ца не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить одним пла­те­жом часть долга;

—  21-⁠го числа с 1-⁠го по 9-⁠й месяц долг дол­жен быть мень­ше на одну и ту же сумму по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

—  21-го числа 9-⁠го ме­ся­ца долг со­ста­вит 120 тыс. руб.;

—  21-⁠го числа 10-⁠го ме­ся­ца долг дол­жен быть по­га­шен.

Най­ди­те пе­ре­пла­ту по кре­ди­ту (в тыс. руб.) за весь срок.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пусть k=1 плюс дробь: чис­ли­тель: 10, зна­ме­на­тель: 100 конец дроби =1,1, а x тыс. руб.  — пла­те­жи 2029 и 2030 годов. В но­яб­ре 2026, 2027, 2028 годов долг перед бан­ком не ме­ня­ет­ся, а еже­год­ные вы­пла­ты со­став­ля­ют 420 левая круг­лая скоб­ка k минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка  тыс. руб. В ян­ва­ре 2029 года долг (в тыс. руб.) будет равен 420k, а в но­яб­ре  — 420k – x. В ян­ва­ре 2030 года долг будет равен 420k в квад­ра­те минус kx, а в но­яб­ре  — 420k в квад­ра­те минус левая круг­лая скоб­ка k плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка x. По усло­вию к но­яб­рю 2030 года долг дол­жен быть вы­пла­чен пол­но­стью. Зна­чит,

420k в квад­ра­те минус левая круг­лая скоб­ка k плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка x=0 рав­но­силь­но 420k в квад­ра­те = левая круг­лая скоб­ка k плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка x рав­но­силь­но x= дробь: чис­ли­тель: 420k в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: k плюс 1 конец дроби .

Таким об­ра­зом, общая сумма вы­плат со­став­ля­ет 3 умно­жить на 420 левая круг­лая скоб­ка k минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 2x, то есть

3 умно­жить на 420 левая круг­лая скоб­ка k минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 2 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 420k в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: k плюс 1 конец дроби =3 умно­жить на 420 умно­жить на 0,1 плюс 2 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 420 умно­жить на 1,21, зна­ме­на­тель: 2,1 конец дроби = 610 тыс. руб.

Ответ: 610 тыс. руб.

ИЛИ

В пер­вые де­вять ме­ся­цев долг умень­ша­ет­ся рав­но­мер­но, таким об­ра­зом, суммы на­чис­ля­е­мых про­цен­тов будут яв­лять­ся де­ся­тью по­сле­до­ва­тель­ны­ми чле­на­ми ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии. Пе­ре­пла­та по кре­ди­ту со­ста­вит

0,01 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 840 плюс 120, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 10=0,1 умно­жить на 480 =48 тыс. руб.

Ответ: 48 тыс. руб.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в обоих пунк­тах2
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те а),

ИЛИ

по­лу­че­ны не­вер­ные от­ве­ты из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния пунк­та а) и пунк­та б)

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше0
Мак­си­маль­ный балл2
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 485