PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
а) Решите уравнение 
б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку 
ИЛИ
а) Решите уравнение 
б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку 
В правильном тетраэдре SNEG точки K и L — середины ребер NE и SG соответственно. Плоскость α перпендикулярна прямой KL и пересекает ребро EG в точке P.
а) Докажите, что прямая KL перпендикулярна ребрам NE и SG.
б) Найдите площадь сечения тетраэдра плоскостью α, если известно, что EP = 1, PG = 5.
ИЛИ
В кубе ABCDA1B1C1D1 отмечены точки M и N — середины сторон AB и AD соответственно.
а) Докажите, что прямые B1N и CM перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между этими прямыми, если 
Решите неравенство: 
ИЛИ
Решите неравенство: 
В ноябре 2025 года планируется взять кредит на пять лет в размере 420 тысяч рублей. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по октябрь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
— в ноябре 2026, 2027 и 2028 годов долг остается равным 420 тыс. руб.;
— выплаты в 2029 и 2030 годах равны;
— к ноябрю 2030 года долг будет выплачен полностью.
Найдите общую сумму платежей за пять лет.
ИЛИ
21 июня планируется взять кредит в банке на сумму 840 тыс. руб. на 10 месяцев. Условия его возврата таковы:
— 1 числа каждого месяца (начиная с июля) долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 20-е число каждого месяца необходимо выплатить одним платежом часть долга;
— 21-го числа с 1-го по 9-й месяц долг должен быть меньше на одну и ту же сумму по сравнению с концом предыдущего месяца;
— 21-го числа 9-го месяца долг составит 120 тыс. руб.;
— 21-го числа 10-го месяца долг должен быть погашен.
Найдите переплату по кредиту
Точка К лежит на отрезке MN. Прямая, проходящая через точку M, касается окружности с диаметром КN в точке A и пересекает окружность с диаметром МК в точках М и В. Продолжение отрезка АК пересекает окружность с диаметром МК в точке C.
а) Докажите, что прямые CM и AN параллельны.
б) Найдите площадь треугольника CKN, если BM = 6 и AB = 30.
ИЛИ
На стороне LM равностороннего треугольника KLM выбрана точка S, серединный перпендикуляр к отрезку KS пересекает сторону KМ в точке Q, а сторону KL — в точке P.
а) Докажите, что углы LSP и SQM равны.
б) Найдите отношение площадей треугольников LSP и SQM, если SM : SL = 2 : 3.
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
имеет два различных корня.
ИЛИ
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
имеет единственный корень на отрезке [0; 8].
Снеговик написал ряд натуральных чисел от 1 до 2025. Затем он зачеркнул каждое второе число, начиная слева, а последнее незачеркнутое число перенес в начало ряда. Затем повторил операцию: зачеркнул каждое второе число, начиная слева, а последнее незачеркнутое число перенес в начало ряда. И так далее до тех пор, пока не останется ровно два числа.
а) Может ли после очередной операции остаться 253 числа?
б) Может ли после очередной операции остаться 64 числа?
в) Чему равна сумма последних двух незачеркнутых чисел?
ИЛИ
Мороз Иванович написал на доске несколько (более одного) попарно различных натуральных чисел, причем любые два из них отличаются не более чем в три раза.
а) Может ли на доске быть 6 чисел, сумма которых равна 71?
6) Может ли на доске быть 9 чисел, сумма которых равна 71?
в) Сколько может быть чисел на доске, если их произведение равно 7000?
как высоты в равных правильных треугольниках. Отрезок KL — медиана, проведенная к основанию равнобедренного треугольника SKG, значит, отрезок KL — высота. Аналогично отрезок LK — высота и медиана равнобедренного треугольника NLE. Получили требуемое.
Треугольники PQN и BB1N подобны по двум углам, значит, 
и
и 
Для таких значений переменной находим:
и 
должно быть определено, необходимо выполнение неравенства 
Для таких значений справедливы тождества
получаем:
отрицателен: 
следовательно, оно не имеет корней. Поэтому квадратный трехчлен 
положителен при всех значениях переменной, и на него можно разделить, не меняя знака неравенства. Далее, используя метод интервалов (см. рис.), получаем:
а x тыс. руб. — платежи 2029 и 2030 годов. В ноябре 2026, 2027, 2028 годов долг перед банком не меняется, а ежегодные выплаты составляют 
тыс. руб. В январе 2029 года долг 
а в ноябре — 
По условию к ноябрю 2030 года долг должен быть выплачен полностью. Значит,
то есть
тыс. руб.
тыс. руб.