В правильной четырехугольной пирамиде SABCD с вершиной S на ребрах AB, BC и SC отмечены точки K, L и M соответственно. Известно, что AK : KB = BL : LC = 2 : 1, SM : MC = 7 : 1.
а) Докажите, что плоскость KLM проходит через середину ребра SD.
б) Найдите угол между плоскостью KLM и плоскостью основания пирамиды, если высота пирамиды равна диагонали основания.
а) Пусть прямые KL и CD пересекаются в точке P, а прямые PM и SD — в точке T. Треугольники KPL и PCL подобны, следовательно, 
откуда 
и 
По теореме Менелая в треугольнике CSD получаем:
Точки K, L, M и T лежат в одной плоскости, так как KL и MT пересекаются, а потому T — точка пересечения плоскости KLM и прямой SD.
б) Пусть H — проекция точки T на плоскость ABCD, точка R — проекция точки H на прямую KL, тогда 
— искомый.
где SO — высота пирамиды. Значит, точка H — середина прямой OD, поэтому:
Введем систему координат с началом в точке B, луч BA совпадает с положительным направлением оси Oy, а луч BC — с положительным направлением оси Ox. Тогда прямая KL задается уравнением 
Точка H имеет координаты (9t; 9t), следовательно,
Пусть 
— искомый
и 
Ответ: 