ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д16 C5 № 669748 Добавить в вариант

В июле 2025 года планируется взять кредит на десять лет в размере 1800 тысяч рублей. Условия его возврата таковы

  —  каждый январь 2026, 2027, 2028, 2029, 2030 годов долг будет возрастать на 10% по сравнению с концом предыдущего года;

  —  каждый январь 2031, 2032, 2033, 2034, 2035 годов долг будет возрастать на r% по сравнению с концом предыдущего года;

  —  с февраля по июнь каждого года необходимо оплатить одним платежом часть долга;

  —  в июле 2026, 2027, 2028, 2029 и 2030 годов долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;

  —  в июле 2031, 2032, 2033, 2034 и 2035 годов долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;

  —  к июлю 2035 года долг должен быть выплачен полностью.

Найдите r, если известно, что общие суммы выплат за первые пять лет и за последние пять лет должны составить соответственно 1540 тысяч и 1420 тысяч рублей.

Спрятать решение

Решение.

Пусть S  — сумма кредита, $p = дробь: числитель: r, знаменатель: 100 конец дроби .$ Рассмотрим первые пять лет выплат по кредиту. Известно, что r  =  10%. Пусть каждый год долг уменьшается на x тысяч рублей. Имеем:

Год	Часть платежа в уплату основного долга	Часть платежа в уплату процентов	Платеж
2026	x	$S умножить на p$	$x плюс S умножить на p$
2027	x	$левая круглая скобка S минус x правая круглая скобка умножить на p$	$x плюс левая круглая скобка S минус x правая круглая скобка умножить на p$
2028	x	$левая круглая скобка S минус 2x правая круглая скобка умножить на p$	$x плюс левая круглая скобка S минус 2x правая круглая скобка умножить на p$
2029	x	$левая круглая скобка S минус 3x правая круглая скобка умножить на p$	$x плюс левая круглая скобка S минус 3x правая круглая скобка умножить на p$
2030	x	$левая круглая скобка S минус 4x правая круглая скобка умножить на p$	$x плюс левая круглая скобка S минус 4x правая круглая скобка умножить на p$

Так как сумма платежей в первые пять лет равна 1540 тысяч рублей, составим уравнение:

$x плюс Sp плюс x плюс левая круглая скобка S минус x правая круглая скобка p плюс x плюс левая круглая скобка S минус 2x правая круглая скобка p плюс x плюс левая круглая скобка S минус 3x правая круглая скобка p плюс x плюс левая круглая скобка S минус 4x правая круглая скобка p = 1540 равносильно$
$равносильно 5x плюс p левая круглая скобка 5S минус 10x правая круглая скобка = 1540 равносильно x плюс p левая круглая скобка S минус 2x правая круглая скобка = 308.$

Подставляя значения S  =  1800 и p  =  0,1, получаем:

$x плюс 0,1 левая круглая скобка 1800 минус 2x правая круглая скобка = 308 равносильно 0,8x = 128 равносильно x = 160.$

Так как в течение первых пяти лет долг уменьшался ежегодно на 160 тысяч рублей, к началу 2031 года долг составляет $1800 минус 160 умножить на 5 = 1000$ тысяч рублей.

Пусть S₁  — сумма долга в начале 2031 года, $k = дробь: числитель: r, знаменатель: 100 конец дроби .$ Рассмотрим следующие пять лет выплат по кредиту.

Год	Часть платежа в уплату основного долга	Часть платежа в уплату процентов	Платеж
2031	0,2S₁	$S_1 умножить на k$	$0,2S_1 плюс S_1 умножить на k$
2032	0,2S₁	$0,8S_1 умножить на k$	$0,2S_1 плюс 0,8S_1 умножить на k$
2033	0,2S₁	$0,6S_1 умножить на k$	$0,2S_1 плюс 0,6S_1 умножить на k$
2034	0,2S₁	$0,4S_1 умножить на k$	$0,2S_1 плюс 0,4S_1 умножить на k$
2035	0,2S₁	$0,2S_1 умножить на k$	$0,2S_1 плюс 0,2S_1 умножить на k$

Так как сумма выплат за последние пять лет составляет 1420 тысяч рублей, составим уравнение:

$0,2S_1 плюс S_1k плюс 0,2S_1 плюс 0,8S_1k плюс 0,2S_1 плюс 0,6S_1k плюс 0,2S_1 плюс 0,4S_1k плюс 0,2S_1 плюс 0,2S_1k = 1420 равносильно$
$равносильно S_1 левая круглая скобка 1 плюс 3k правая круглая скобка = 1420.$

Известно, что S₁  =  1000, находим k:

$1000 левая круглая скобка 1 плюс 3k правая круглая скобка = 1420 равносильно 1 плюс 3k = дробь: числитель: 71, знаменатель: 50 конец дроби равносильно 3k = дробь: числитель: 21, знаменатель: 50 конец дроби равносильно k = дробь: числитель: 14, знаменатель: 100 конец дроби ,$

откуда r  =  14.

Ответ: 14.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 475

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь