Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 14 № 669744
i

Дан тет­ра­эдр SABC. На его ребре AC вы­бра­на точка P так, что AP : PC  =  3 : 5. Также на реб­рах SA, SB и BC вы­бра­ны точки T, Q и R со­от­вет­ствен­но так, что PTQR  — квад­рат со сто­ро­ной 3.

а)  До­ка­жи­те, что BR : RC  =  3 : 5.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки C до плос­ко­сти PTQ, если из­вест­но, что объем тет­ра­эд­ра равен  32.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Из усло­вия сле­ду­ет, что пря­мые TQ и RP па­рал­лель­ны. Пред­по­ло­жим, пря­мая PR пе­ре­се­ка­ет пря­мую AB в точке X, тогда X  — точка пе­ре­се­че­ния плос­ко­сти PTQR и пря­мой AB. Если точка X лежит на пря­мой TQ, то пря­мые TQ и PR пе­ре­се­ка­ют­ся, что не­воз­мож­но. Если X не лежит на TQ, то пря­мые TQ и AB скре­щи­ва­ют­ся, что также не­воз­мож­но, по­сколь­ку они лежат в одной плос­ко­сти. Зна­чит, пред­по­ло­же­ние не­вер­но, и пря­мые PR и AB не пе­ре­се­ка­ют­ся, а тогда они па­рал­лель­ны, по­сколь­ку лежат в одной плос­ко­сти, а по­то­му

BR : RC = AP : PC = 3 : 5.

б)  Ана­ло­гич­но пунк­ту а) по­лу­ча­ем, что пря­мая PT па­рал­лель­на пря­мым QR и SC. Из этого сле­ду­ет, что пря­мые SC и AB пер­пен­ди­ку­ляр­ны, по­сколь­ку пер­пен­ди­ку­ляр­ны пря­мые PT и PR. Тогда тре­уголь­ни­ки ATP и ASC по­доб­ны, зна­чит,

дробь: чис­ли­тель: TP, зна­ме­на­тель: SC конец дроби = дробь: чис­ли­тель: AT, зна­ме­на­тель: AS конец дроби = дробь: чис­ли­тель: AP, зна­ме­на­тель: AC конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби ,

от­ку­да SC = 8. Ана­ло­гич­но AB  =  8.

Пусть рас­сто­я­ние между пря­мы­ми AB и CD равно d. Вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой объ­е­ма тет­ра­эд­ра, вы­ра­жен­но­го через длины скре­щи­ва­ю­щих­ся ребер, рас­сто­я­ние и угол между ними:

V = дробь: чис­ли­тель: AB умно­жить на SC умно­жить на d умно­жить на синус \widehat левая круг­лая скоб­ка AB; SC пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби .

По усло­вию V = 32, от­ку­да d = дробь: чис­ли­тель: 32 умно­жить на 6, зна­ме­на­тель: 8 умно­жить на 8 конец дроби = 3.

Оста­лось за­ме­тить, что плос­кость PQT па­рал­лель­на пря­мым AB и SC и делит рас­сто­я­ние между ними в от­но­ше­нии 3 : 5. Сле­до­ва­тель­но, рас­сто­я­ние от точки C до плос­ко­сти PQT равно  дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби умно­жить на 3, то есть дробь: чис­ли­тель: 15, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби .

 

Ответ: б)   дробь: чис­ли­тель: 15, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а),

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 475
Классификатор стереометрии: Рас­сто­я­ние от точки до плос­ко­сти, Тет­ра­эдр, Де­ле­ние от­рез­ка
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025