PDF-версии: 1. Тип Д8 C1 № 689066 
Классификатор алгебры: Основное тригонометрическое тождество и его следствия, Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители, Тригонометрические уравнения, сводимые к целым на синус или косинус, Уравнения высших степеней
Методы алгебры: Формулы двойного угла
Уравнения, системы уравнений. Сложные тригонометрические уравнения
i
а) Решите уравнение 
б) Найдите все корни на промежутке 
Решение. а) Последовательно получаем:
Уравнение 
решений не имеет.
б) Выборка корней.
Из серии корней 
Из серии 
Из серии 
Ответ: а) 
б) 
Критерии проверки:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б. ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ответ: а)
б)
689066
а)
б)
Классификатор алгебры: Основное тригонометрическое тождество и его следствия, Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители, Тригонометрические уравнения, сводимые к целым на синус или косинус, Уравнения высших степеней
Методы алгебры: Формулы двойного угла
боковое ребро составляет с высотой угол 
Плоскость 
проходящая через вершину основания пирамиды, перпендикулярна противолежащему боковому ребру и разбивает пирамиду на две части.
Из перпендикулярности SO и (ABC) следует 
SO и AC — две пересекающиеся прямые плоскости ASC. Значит, 
В таком случае прямая BD перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости ASC, в том числе и к прямой SC. Но KE || BD по построению. Отсюда: 
— равносторонний, так как 
Следовательно, SO — высота, медиана и биссектриса 
AT — его медиана, т. е. 
так как KE || BD, то 
— равносторонний, причем SP — его биссектриса, следовательно, и медиана KP = PE; P — точка пересечения медиан 
а из параллельности PK и OD по теореме Фалеса следует: 
по теореме косинусов будем иметь: 
т. е. 
по этой же теореме: 
В таком случае KT = ET как проекции равных наклонных SK и SE к (ETK), 
т. е. 
В пирамиде SAETK с основанием AETK отрезок ST — высота пирамиды. 
то 
получим часть решений заданного неравенства: 
то 
Действительно, 
(неравенство очевидное). 
тогда 
по теореме косинусов: 
по той же теореме: 
годовых. Тогда к началу второго года сумма стала 
у. е.
у. е.
у. е.
у. е.
Очевидно, 
причем если 
то x определится однозначно 
а если 
то существует два различных значения x. Аналогичное утверждение верно и про υ, и y. 
оно даст 4 решения в терминах x, y. 
Получаются решения 
и 
а других не получается:
решения исходной системы, что нас вполне устраивает.
решением будет также пара 
что потенциально дает уже 8 решений. Значит, некоторые из них должны совпадать. Ясно, что все 4 решения, полученные из одной пары, различны. Поэтому либо две четверки решений полностью совпадают, либо это просто одна и та же пара чисел, то еcть 
и оно подходит:
то, очевидно, четверки решений не могут полностью совпадать хотя бы потому, что y в каждой четверке решений принимает два противоположных значения, а x — два значения, сумма которых равна двум, поэтому иксы из одной четверки не смогут оказаться игреками из другой. Если же мы знаем про пару чисел, кто из них x, а кто y, то пара 
восстанавливается однозначно. Итак, в этой ситуации мы будем иметь больше четырех решений, что нас не устроит.
Согласно малой теореме Ферма 
и 10 дают одинаковый остаток при делении на p, поэтому 
не делится на p (так как 9 не делится на p).
Если простое число больше 5, то оно взаимно просто с числами 9 и 10. По малой теореме Ферма 
делится на p, поэтому и 
делится на 