Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
а) Пусть p — простое число, отличное от 3. Докажите, что число 111…11 (p единиц) не делится на p.
б) Пусть p > 5 — простое число. Докажите, что число 111…11 (p — 1 единица) делится на p.
Решение.
Спрятать критерии
а) Заметим, что 
Согласно малой теореме Ферма 
и 10 дают одинаковый остаток при делении на p, поэтому 
не делится на p (так как 9 не делится на p).
б) Заметим, что 
Если простое число больше 5, то оно взаимно просто с числами 9 и 10. По малой теореме Ферма 
делится на p, поэтому и 
делится на 
Классификатор алгебры: Числа и их свойства