Ре­ше­ние. а)  По­сле­до­ва­тель­но по­лу­ча­ем:

б)  Отбор кор­ней про­из­ве­дем с по­мо­щью еди­нич­ной окруж­но­сти.

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. б)  Вве­дем де­кар­то­ву си­сте­му ко­ор­ди­нат с на­ча­лом в цен­тре ос­но­ва­ния ABCD. Вы­пи­шем ко­ор­ди­на­ты точек K, P и M: K (0; 3; 6), P (3; 0; 0), M (−3; 3; 3).

Со­ста­вим урав­не­ние се­ку­щей плос­ко­сти в вы­бран­ной си­сте­ме ко­ор­ди­нат при d = 6.

Зна­че­ние а под­ста­вим во вто­рое урав­не­ние. По­лу­чим:

Под­ста­вив зна­че­ние b в урав­не­ние (1), будем иметь: Далее, b = −4 − c = −6. Ис­ко­мое урав­не­ние имеет вид: −2x − 6y + 2z + 6 = 0 или x + 3y − z − 3 = 0. Нор­маль­ный век­тор плос­ко­сти:

Урав­не­ние плос­ко­сти ниж­не­го ос­но­ва­ния куба: z = 0. Нор­маль­ный век­тор: Ко­си­нус угла между ниж­ним ос­но­ва­ни­ем куба и се­ку­щей плос­ко­стью (обо­зна­чим этот угол через ) по­лу­чим как угол между их нор­маль­ны­ми век­то­ра­ми и

Най­дем абс­цис­су точки S пе­ре­се­че­ния пря­мой KM с плос­ко­стью (ABCD) из урав­не­ния плос­ко­сти се­че­ния при y = 3, z = 0:

Зна­чит,

Ана­ло­гич­но най­дем ор­ди­на­ту точки N при x = −3, z = 0.

Те­перь най­дем ор­ди­на­ту точки L при x = 3, z = 6.

Не­труд­но за­ме­тить, что

Ре­ше­ние. Най­дем огра­ни­че­ния на x.

Пе­рей­дем к ло­га­риф­мам по ос­но­ва­нию 3. При най­ден­ных огра­ни­че­ни­ях на x:

На

Сле­до­ва­тель­но,

С ча­стич­ным ис­поль­зо­ва­ни­ем ме­то­да ра­ци­о­на­ли­за­ции

На мно­же­стве

Но с уче­том огра­ни­че­ний на х будем иметь:

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Пусть O₁  — центр окруж­но­сти, у ко­то­рой ра­ди­ус равен 8, O₂  — центр дру­гой окруж­но­сти.

Через точку А про­ве­дем общую ка­са­тель­ную за­дан­ных окруж­но­стей, ко­то­рая пе­ре­се­чет от­ре­зок ВС, ска­жем, в точке М.

По свой­ству ка­са­тель­ных, про­ве­ден­ных к окруж­но­сти, будем иметь: MB = MA, MA = MC. А это зна­чит: точки В, А и С рав­но­уда­ле­ны от точки М, что в свою оче­редь озна­ча­ет, что яв­ля­ет­ся впи­сан­ным в не­ко­то­рую окруж­ность опи­ра­ю­щим­ся на ее диа­метр ВС, т. е. что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ную тра­пе­цию (Здесь ра­ди­у­сы окруж­но­стей и ока­жут­ся па­рал­лель­ны­ми как два пер­пен­ди­ку­ля­ра к пря­мой l.Со­еди­ним от­рез­ком и ко­то­рый прой­дет через точку А.

Про­ве­дем из точки А пер­пен­ди­ку­ляр к от­рез­ку ВС, ос­но­ва­ние пер­пен­ди­ку­ля­ра обо­зна­чим К.

Ясно, что

Про­ве­дем от­ре­зок

  — пря­мо­уголь­ник,

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке Зна­чит,

Най­дем СК по тео­ре­ме Фа­ле­са. (СК есть вы­со­та про­ве­ден­ная к про­дол­же­нию сто­ро­ны

(От­ре­зок ВК равен вы­со­те про­ве­ден­ной к

Ответ: б) 12,8.

Ре­ше­ние. Пусть вклад­чик в банк пер­во­на­чаль­но по­ло­жил х руб­лей. Тогда за 3 года хра­не­ния этих денег вклад вырос бы до руб­лей.

За пер­вый год хра­не­ния вкла­да он вырос до 1,1x руб­лей. Когда через год вклад­чик снял 2000 руб­лей, на счете оста­лось руб­лей. В конце вто­ро­го года хра­не­ния вкла­да на эту сумму были на­чис­ле­ны про­цен­ты, вклад стал руб­лей. Когда вклад­чик снова внес 2000 руб­лей, сумма вкла­да стала равна

К концу тре­тье­го года хра­не­ния вкла­да сумма уве­ли­чи­лась до

Эту сумму снял вклад­чик в итоге вме­сто пер­во­на­чаль­но за­пла­ни­ро­ван­ной руб­лей.

Най­дем ис­ко­мую раз­ность.

Ответ: на 220 руб­лей.

При­ме­ча­ние.

Ре­ше­ние можно не­сколь­ко упро­стить, за­ме­тив, что за­пла­ни­ро­ван­ный и фак­ти­че­ский про­цен­ты за пер­вый год не от­ли­ча­ют­ся. Пусть к на­ча­лу вто­ро­го года после на­чис­ле­ния про­цен­тов на счете было х руб. Тогда за­пла­ни­ро­ван­ный про­цент равен 1,1²х руб., а фак­ти­че­ский про­цент равен руб. Ис­ко­мая раз­ность  — 220 руб.

Ре­ше­ние. Рас­смот­рим пер­вое урав­не­ние си­сте­мы. Сде­ла­ем сле­ду­ю­щую за­ме­ну.

Пусть Тогда оно (пер­вое урав­не­ние) при­мет вид:

что верно для лю­бо­го

Те­перь рас­смот­рим вто­рое урав­не­ние.

За­ме­тим, что при этом долж­но вы­пол­нять­ся усло­вие: Сле­до­ва­тель­но, т. е. или

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Воз­мож­ны лишь два на­бо­ра че­ты­рех наи­мень­ших де­ли­те­лей, удо­вле­тво­ря­ю­щих усло­вию за­да­чи: 1,2,4,5 и 1,2,3,6. В пер­вом слу­чае сумма че­ты­рех наи­боль­ших де­ли­те­лей равна во вто­ром слу­чае сумма че­ты­рех наи­боль­ших де­ли­те­лей равна Пусть тогда Че­ты­ре его наи­мень­ших де­ли­те­ля равны 1,2,4,5.

б)  Пусть тогда N не яв­ля­ет­ся целым. Пусть тогда Но наи­мень­шие де­ли­те­ли 60 равны 1,2,3,4, что не удо­вле­тво­ря­ет усло­вию.

в)  Пусть наи­мень­шие де­ли­те­ли числа N равны 1,2,4,5. Тогда то есть Кроме этого N долж­но де­лить­ся на 20, и не де­лить­ся на 3. Этому усло­вию удо­вле­тво­ря­ют числа 20 и 40.

Пусть наи­мень­шие де­ли­те­ли числа N равны 1,2,3,6. Тогда то есть Кроме этого N долж­но де­лить­ся на 6, и не де­лить­ся ни на 4, ни на 5. Этому усло­вию удо­вле­тво­ря­ют числа 6, 18 и 42.

Ответ: а) да; б) нет; в) 6, 18, 20, 40, 42.