Ре­ше­ние. а)  По­сле­до­ва­тель­но по­лу­ча­ем:

б)  Решим не­ра­вен­ство в целых чис­лах. По­лу­чим:

При при

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. До­пол­ни­тель­ное по­стро­е­ние: со­еди­ним от­рез­ка­ми вер­ши­ны В и D с точ­кой H.

Ясно, что Вы­чис­лим бо­ко­вое ребро пи­ра­ми­ды.

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке PHO по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Вы­чис­лим BH. В рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке BHD ОН  — ме­ди­а­на, сле­до­ва­тель­но, и вы­со­та.

По­ка­жем, что для вы­пол­ня­ет­ся усло­вие тео­ре­мы Пи­фа­го­ра.

Зна­чит, пря­мая Ана­ло­гич­но можно до­ка­зать, что

Итак, ока­за­лось, что пря­мая PC пер­пен­ди­ку­ляр­на ОН (по усло­вию), также пер­пен­ди­ку­ляр­на BH (по толь­ко что до­ка­зан­но­му). Сле­до­ва­тель­но, по при­зна­ку пер­пен­ди­ку­ляр­но­сти пря­мой и плос­ко­сти.

По спо­со­бу по­стро­е­ния и до­ка­зан­но­му выше   — ли­ней­ный угол дву­гран­но­го угла, об­ра­зо­ван­но­го по­лу­плос­ко­стя­ми, со­дер­жа­щи­ми бо­ко­вые грани PBC и PCD.

Най­дем этот угол по тео­ре­ме ко­си­ну­сов, обо­зна­чив его

Итак, угол между бо­ко­вы­ми гра­ня­ми пи­ра­ми­ды ока­зал­ся тупым: А как из­вест­но, за угол между плос­ко­стя­ми, со­дер­жа­щи­ми бо­ко­вые грани PBC и PCD, при­ни­ма­ет­ся наи­мень­ший из углов, ко­то­рые они об­ра­зу­ют при вза­им­ном пе­ре­се­че­нии, по­это­му ис­ко­мым углом будет

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Пусть

Тогда:

Но на рас­смат­ри­ва­е­мом про­ме­жут­ке имеем:

Пусть

В таком слу­чае:

Итак, при имеем:

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  СЕ  — ме­ди­а­на тре­уголь­ни­ка АВС. Сле­до­ва­тель­но, S(ACE) = S(BCE). Ана­ло­гич­но РЕ  — ме­ди­а­на тре­уголь­ни­ка АВР, S(APE) = S(BPE).

S(ACE) − S(APE) = S(BCE) − S(BPE). Или S(APC) = S(BPC), что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  Из усло­вия за­да­чи от­но­си­тель­но рас­по­ло­же­нии точки К также вы­те­ка­ет:

Если S(CP) = a, то S(BPK) = 2, S(APC) = 3.

Пусть S(APE) = S(BPE) = b. Тогда: S(AC) = 4a = 40, a = 10.

Но S(BCE) = 3a + b = 60. Зна­чит, b = 60 − 3a = 30. В таком слу­чае: S(ABP) = 2b = 60.

Ответ: 60.

Ре­ше­ние. Обо­зна­чим сумму по­лу­чен­но­го кре­ди­та Лени Го­луб­ко­ва S. Еже­год­ные вы­пла­ты кли­ен­та со­став­ля­ли х р.

В конце пер­во­го года срока по­га­ше­ния кре­ди­та Лёне была на­чис­ле­на про­цент­ная став­ка в раз­ме­ре 1,2S р. А Леня в тот же день в банк пе­ре­вел х р. Лёнин долг со­став­ля­ет

В конце вто­ро­го года долг ста­но­вит­ся:

В конце тре­тье­го года  —

А в конце чет­вер­то­го года:

Но этот долг уже равен нулю. Сле­до­ва­тель­но,

Сей­час не­труд­но вы­чис­лить и ис­ко­мую сумму:

Ра­ци­о­на­ли­за­ция вы­чис­ле­ния:

Ответ: 29264.

Ре­ше­ние. Пре­об­ра­зу­ем си­сте­му так:

Решим урав­не­ние от­но­си­тель­но х, под­став­ляя за­дан­ное зна­че­ние у.

По­след­нее урав­не­ние будет иметь ре­ше­ние, если его чет­верть дис­кри­ми­нан­та будет не­от­ри­ца­тель­ной, т. е.

При таких зна­че­ни­ях а

Те­перь рас­смот­рим не­ра­вен­ство на мно­же­стве

Слу­чай 1.

С уче­том того, что по­лу­чим:

Слу­чай 2.

С уче­том того, что имеем:

Ясно, что при каж­до­му зна­че­нию пе­ре­мен­ной х будет со­от­вет­ство­вать впол­не опре­де­лен­ное зна­че­ние пе­ре­мен­ной у.

За­ме­ча­ния:

1.   При пе­ре­хо­де из за­дан­ной в пре­об­ра­зо­ван­ную си­сте­му вклю­чать в си­сте­му не­ра­вен­ство на­доб­но­сти нет, по­сколь­ку вы­пол­не­ние усло­вия уже обес­пе­чит по­ло­жи­тель­ный знак левой части ра­вен­ства

2.  Не­труд­но за­ме­тить, что при а = 3,25 си­сте­ма будет иметь одно ре­ше­ние, а при 3 < a < 3,25  — два ре­ше­ния. Од­на­ко такой де­та­ли­за­ции за­да­ча не тре­бу­ет. Такая де­та­ли­за­ция может счи­тать­ся даже из­бы­точ­ной.

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Раз­ло­жим про­из­ве­де­ние всех чисел из на­бо­ра на про­стые мно­жи­те­ли: Мно­жи­те­ли 11,13,17 и 19 вхо­дят в раз­ло­же­ние в пер­вой или вто­рой сте­пе­ни, по­это­му числа 11,13,17,19,22 из не могут вхо­дить в ис­ко­мое про­из­ве­де­ние. Кроме того, не может вхо­дить в про­из­ве­де­ние хотя бы одно число, крат­ное 5 (иначе мно­жи­тель 5 будет вхо­дить в чет­вер­той сте­пе­ни и куб не по­лу­чит­ся). По­это­му чисел из на­бо­ра в про­из­ве­де­нии может быть не более 16. Видно, что числа 1,2,3,4,6,7,8,9,10,12,14,15,16,18,20,21 го­дят­ся, так как их про­из­ве­де­ние равно - куб на­ту­раль­но­го числа.

б)  По ана­ло­гич­ным со­об­ра­же­ни­ям, сразу не под­хо­дят числа 13,17,19, кроме того, в раз­ло­же­нии есть "лиш­ние" двой­ка, трой­ка и се­мер­ка. Чтобы из­ба­вить­ся от них не­об­хо­ди­мо вы­черк­нуть из на­бо­ра хотя бы два числа, на­при­мер 6 и 7 (одним не обой­тись, по­то­му что - не вхо­дит в набор).

Таким об­ра­зом, чисел не может быть боль­ше сем­на­дца­ти. Го­дят­ся, на­при­мер, числа 1,2,3,4,5,8,9,10,11,12,14,15,16,18,20,21,22, так как их про­из­ве­де­ние равно - квад­рат на­ту­раль­но­го числа.

в)  Сразу ис­клю­чим из рас­смот­ре­ния чет­ные числа, и числа 13,17,19. Оста­нет­ся набор 1,3,5,7,9,11,15,21. Число 11 тоже лиш­нее, по­сколь­ку вой­дет в раз­ло­же­ние толь­ко в пер­вой сте­пе­ни. Про­из­ве­де­ние чисел 1,3,5,7,9,15,21 равно - не яв­ля­ет­ся квад­ра­том, по­это­му чисел в на­бо­ре не более 6. Го­дят­ся, на­при­мер, такие: 1,5,7,9,15,21.

Ответ: а) 16; б) 17; в) 6.