ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д19 C7 № 508153 Добавить в вариант

Набор состоит из первых 22 натуральных чисел: 1; 2; 3;…; 21; 22.

А)  Какое наибольшее количество чисел этого набора необходимо перемножить, чтобы получить куб натурального числа?

Б)  Какое наибольшее количество чисел этого набора необходимо перемножить, чтобы получить квадрат натурального числа?

В)  Какое наибольшее количество чисел этого набора необходимо перемножить, чтобы получить квадрат нечетного натурального числа?

Спрятать решение

Решение.

а)  Разложим произведение всех чисел из набора на простые множители: $23!=2 в степени левая круглая скобка 19 правая круглая скобка умножить на 3 в степени 9 умножить на 5 в степени 4 умножить на 7 в кубе умножить на 11 в квадрате умножить на 13 умножить на 17 умножить на 19.$ Множители 11,13,17 и 19 входят в разложение в первой или второй степени, поэтому числа 11,13,17,19,22 из не могут входить в искомое произведение. Кроме того, не может входить в произведение хотя бы одно число, кратное 5 (иначе множитель 5 будет входить в четвертой степени и куб не получится). Поэтому чисел из набора в произведении может быть не более 16. Видно, что числа 1,2,3,4,6,7,8,9,10,12,14,15,16,18,20,21 годятся, так как их произведение равно $2 в степени левая круглая скобка 18 правая круглая скобка умножить на 3 в степени 9 умножить на 5 в кубе умножить на 7 в кубе = левая круглая скобка 2 в степени 6 умножить на 3 в кубе умножить на 5 умножить на 7 правая круглая скобка в кубе$ - куб натурального числа.

б)  По аналогичным соображениям, сразу не подходят числа 13,17,19, кроме того, в разложении есть "лишние" двойка, тройка и семерка. Чтобы избавиться от них необходимо вычеркнуть из набора хотя бы два числа, например 6 и 7 (одним не обойтись, потому что $2 умножить на 3 умножить на 7=42$ - не входит в набор).

Таким образом, чисел не может быть больше семнадцати. Годятся, например, числа 1,2,3,4,5,8,9,10,11,12,14,15,16,18,20,21,22, так как их произведение равно $2 в степени левая круглая скобка 18 правая круглая скобка умножить на 3 в степени 8 умножить на 5 в степени 4 умножить на 7 в квадрате умножить на 11 в квадрате = левая круглая скобка 2 в степени 9 умножить на 3 в степени 4 умножить на 5 в квадрате умножить на 7 умножить на 11 правая круглая скобка в квадрате$ - квадрат натурального числа.

в)  Сразу исключим из рассмотрения четные числа, и числа 13,17,19. Останется набор 1,3,5,7,9,11,15,21. Число 11 тоже лишнее, поскольку войдет в разложение только в первой степени. Произведение чисел 1,3,5,7,9,15,21 равно $3 в степени 5 умножить на 7 в квадрате умножить на 5 в квадрате$ - не является квадратом, поэтому чисел в наборе не более 6. Годятся, например, такие: 1,5,7,9,15,21.

Ответ: а) 16; б) 17; в) 6.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получен один из следующих результатов:   — пример в п. а;   — обоснованное решение п. б;   — обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1);   — обоснование в п. в того, что равенства S = −1 и S = 1 невозможны.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 95

Классификатор алгебры: Числа и их свойства

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь