Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 15 № 506950

В банк помещена сумма 3900 тысяч рублей под 50% годовых. В конце каждого из первых четырех лет хранения после начисления процентов вкладчик дополнительно вносил на счет одну и ту же фиксированную сумму. К концу пятого года после начисления процентов оказалось, что размер вклада увеличился по сравнению с первоначальным на 725%. Какую сумму вкладчик ежегодно добавлял к вкладу?

Спрятать решение

Решение.

Общая сумма, причитающаяся вкладчику, включая дополнительные вклады в течение четырех лет и все процентные начисления, к концу пятого года хранения денег составляет 825 (100+725) процентов от первоначального (3900 тыс. руб.). Эта сумма равна:

3900 умножить на 8,25=39 умножить на 825=3 умножить на 13 умножить на 3 умножить на 5 умножить на 5 умножить на 11=3 в квадрате умножить на 5 в квадрате умножить на 11 умножить на 13 (тыс.руб.)

 

Некоторая часть найденной суммы образована хранением первоначально вложенной суммы (3900 тыс.руб.) Вычислим эту часть. Поскольку процентная надбавка начислялась в размере 50% годовых, то за 5 лет хранения этой части вклада вложенная сумма увеличилась в 1,5 в степени 5 = дробь: числитель: 3 в степени 5 , знаменатель: 2 в степени 5 конец дроби раза. То есть стала:

 дробь: числитель: 3900 умножить на 3 в степени 5 , знаменатель: 2 в степени 5 конец дроби = дробь: числитель: 3 умножить на 13 умножить на 2 в квадрате умножить на 5 в квадрате умножить на 3 в степени 5 , знаменатель: 2 в степени 5 конец дроби = дробь: числитель: 3 в степени 6 умножить на 5 в квадрате умножить на 13, знаменатель: 2 в кубе конец дроби (тыс. руб.)

Теперь найдем другую часть образованной суммы с учетом дополнительных вкладов в течение четырех лет, а также процентных начислений на эту сумму. Эта часть равна разности двух сумм, вычисленных выше.

3 в квадрате умножить на 5 в квадрате умножить на 11 умножить на 13 минус дробь: числитель: 3 в степени 6 умножить на 5 в квадрате умножить на 13, знаменатель: 2 в кубе конец дроби = дробь: числитель: 2 в кубе умножить на 3 в квадрате умножить на 5 в квадрате умножить на 11 умножить на 13 минус 3 в степени 6 умножить на 5 в квадрате умножить на 13, знаменатель: 2 в кубе конец дроби = дробь: числитель: 3 в квадрате умножить на 5 в квадрате умножить на 13 умножить на (2 в кубе умножить на 11 минус 3 в степени 4 ), знаменатель: 2 в кубе конец дроби =

= дробь: числитель: 3 в квадрате умножить на 5 в квадрате умножить на 13 умножить на (88 минус 81), знаменатель: 2 в кубе конец дроби = дробь: числитель: 3 в квадрате умножить на 5 в квадрате умножить на 7 умножить на 13, знаменатель: 2 в кубе конец дроби (тыс. руб.)

Это — с одной стороны. С другой же стороны эта сумма образовалась так:

Пусть вкладчик в конце года и еще три раза в следующие годы вносил дополнительный вклад в сумме x тыс. руб.

В конце первого года хранения этой суммы (к концу второго года от открытия вклада) она выросла до  дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби x тыс. руб.

Вкладчик дополнительно внес еще x тыс. руб. На начало следующего календарного года эта часть суммы стала:

 дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби x плюс x= дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби x (тыс.руб.)

Через год эта сумма выросла до:

 дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби x умножить на дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 15, знаменатель: 4 конец дроби x (тыс.руб.)

Но вкладчик внес на счет еще x тыс.руб. Сумма стала:

 дробь: числитель: 15, знаменатель: 4 конец дроби x плюс x= дробь: числитель: 19, знаменатель: 4 конец дроби x (тыс. руб.)

Через год эта сумма выросла до:

 дробь: числитель: 19, знаменатель: 4 конец дроби x умножить на дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 57, знаменатель: 8 конец дроби x (тыс. руб.)

Вкладчик вновь внес на счет x тыс. руб. Часть вклада становится равной:

 дробь: числитель: 57, знаменатель: 8 конец дроби x плюс x= дробь: числитель: 65, знаменатель: 8 конец дроби x (тыс.руб.)

К концу последнего года хранения всего вклада эта часть вырастает до:

 дробь: числитель: 65, знаменатель: 8 конец дроби x умножить на дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 3 умножить на 5 умножить на 13, знаменатель: 2 в степени 4 конец дроби x (тыс. руб.)

Теперь решим уравнение:

 дробь: числитель: 3 умножить на 5 умножить на 13, знаменатель: 2 в степени 4 конец дроби умножить на x= дробь: числитель: 3 в квадрате умножить на 5 в квадрате умножить на 7 умножить на 13, знаменатель: 2 в кубе конец дроби равносильно x= дробь: числитель: 3 в квадрате умножить на 5 в квадрате умножить на 7 умножить на 13 умножить на 2 в степени 4 , знаменатель: 2 в кубе умножить на 3 умножить на 5 умножить на 13 конец дроби равносильно x=3 умножить на 5 умножить на 7 умножить на 2 равносильно x=210.

 

Итак, искомая сумма равна 210 тыс. руб.

 

Ответ: 210 тыс. руб.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен верный ответ2
Верно построена математическая модель1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл2

Аналоги к заданию № 506950: 512005 Все

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 83., А. Ларин: Тренировочный вариант № 86.
Классификатор алгебры: Задачи о вкладах
Спрятать решение · ·
Эля Коша 22.03.2015 13:18

насколько я понимаю, на счете у него за 5 лет накопилось 3900+725%, то есть чуть за 30 тысяч, а в ответе сказано, что ежегодно он вкладывал 210 000....

Александр Иванов

по условию дано 3900 тысяч, т.е. 3900000

Гость 30.05.2015 16:56

По условию сказано , что дополнительная сумма вносилась в конце года после вычисления процентов, а вы пишете : "В конце ПЕРВОГО года хранения этой суммы она выросла до 3/2 х". А она то выросла только в конце ВТОРОГО года. Следуя такой системе, как у вас , сумма должна умножаться на 3/2 и в конце пятого года! Прошу прощения , если я не права.

Александр Иванов

"В конце первого года хра­не­ния ЭТОЙ суммы.."

Юлия Нечаева 13.07.2015 15:15

Нажимаю "обсудить вконтакте", отвечает ошибка доступа. Исправте пожалуйста.

Константин Лавров

Так, наверное, для того чтобы обсуждать что-то вКонтакте, нужно быть участником нашей группы вКонтакте? Исправить это можете только Вы, вступив в группу.

Siriusss DTV 13.02.2016 18:23

Может, все-таки правильнее, чтоб в ответе стояло 210 тыс.руб, а не 210000. При расчетах все верно указано, а в написании ответа стоят лишние нули. В бланке заданий ЕГЭ может возникнуть путаница в написании. Потому что 210 будет верным ответом, а 210000 не верно

Александр Иванов

1. Правильный ответ на вопрос, сформулированный в условии задачи − 210000 руб.

2. Решение этой задачи записывают на бланке ответов №2 (т.е. просто "листочек в клеточку")

3. Проверяют решение этой задачи эксперты, а не машина.