Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д19 C7 № 508106
i

а)  Школь­ни­ки од­но­го клас­са в сен­тяб­ре хо­ди­ли в два ту­ри­сти­че­ских по­хо­да. В пер­вом по­хо­де маль­чи­ков было мень­ше дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби об­ще­го числа участ­ни­ков этого по­хо­да, во вто­ром  — тоже мень­ше дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби . До­ка­жи­те, что в этом клас­се маль­чи­ки со­став­ля­ют мень­ше дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби об­ще­го числа уче­ни­ков, если из­вест­но, что каж­дый из уче­ни­ков участ­во­вал по­край­ней мере в одном по­хо­де.

б)  Пусть в k-м по­хо­де, где 1 ≤ k ≤ n, маль­чи­ки со­став­ля­ли ak-ю часть об­ще­го ко­ли­че­ства участ­ни­ков этого по­хо­да. Какую наи­боль­шую долю могут со­став­лять маль­чи­ки на общей встре­че всех ту­ри­стов (всех, кто участ­во­вал хотя бы в одном из n по­хо­дов)?

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  В пер­вом по­хо­де ко­ли­че­ство маль­чи­ков было мень­ше чем 2/3 от ко­ли­че­ства де­во­чек – участ­ниц этого по­хо­да. Тем более оно мень­ше чем 2/3 от об­ще­го ко­ли­че­ства де­во­чек – уче­ниц клас­са. То же верно для маль­чи­ков – участ­ни­ков вто­ро­го по­хо­да. По­сколь­ку каж­дый уче­ник был хотя бы в одном по­хо­де, всего маль­чи­ков в клас­се мень­ше чем 4/3 от ко­ли­че­ства де­во­чек. Сле­до­ва­тель­но, маль­чи­ков в этом клас­се мень­ше чем 4/7 от об­ще­го числа уче­ни­ков.

 

б)  Пусть bi и gi – число маль­чи­ков и де­во­чек в i-м по­хо­де, b и g – число маль­чи­ков и де­во­чек на общей встре­че. По усло­вию b_i = a_i левая круг­лая скоб­ка b_i плюс g_i пра­вая круг­лая скоб­ка , от­ку­да левая круг­лая скоб­ка 1 – a_i пра­вая круг­лая скоб­ка b_i =a_ig_i мень­ше или равно a_ig, по­это­му если все a_i мень­ше 1, то b мень­ше или равно \sum b_i мень­ше или равно \sum a_i / левая круг­лая скоб­ка 1 минус a_i пра­вая круг­лая скоб­ка g=g мень­ше или равно \sum a_i / левая круг­лая скоб­ка 1 минус a_i пра­вая круг­лая скоб­ка от­ку­да b левая круг­лая скоб­ка 1 плюс \sum a_i / левая круг­лая скоб­ка 1 минус a_i пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка \leqslant левая круг­лая скоб­ка b плюс g пра­вая круг­лая скоб­ка \sum a_i / левая круг­лая скоб­ка 1 минус a_i пра­вая круг­лая скоб­ка .

Итак, если a_i мень­ше 1 для всех i, то маль­чи­ки будут со­став­лять не более c/ левая круг­лая скоб­ка 1 плюс c пра­вая круг­лая скоб­ка от об­ще­го числа участ­ни­ков по­хо­дов, где c=\sum a_i / левая круг­лая скоб­ка 1 минус a_i пра­вая круг­лая скоб­ка .

До­ка­жем, что эта гра­ни­ца может до­сти­гать­ся. Для этого тре­бу­ет­ся, чтобы все на­пи­сан­ные не­ра­вен­ства пре­вра­ти­лись в ра­вен­ства. Легко по­нять, что это будет так, если де­воч­ки во всех по­хо­дах были одни и те же, а маль­чи­ки – раз­ные, то есть каж­дый из маль­чи­ков был толь­ко в одном по­хо­де.

 

Ответ: б) c/ левая круг­лая скоб­ка 1 плюс c пра­вая круг­лая скоб­ка , где c=\sum a_i / левая круг­лая скоб­ка 1 минус a_i пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Верно по­лу­че­ны все пе­ре­чис­лен­ные (см. кри­те­рий на 1 балл) ре­зуль­та­ты.4
Верно по­лу­че­ны три из пе­ре­чис­лен­ных (см. кри­те­рий на 1 балл) ре­зуль­та­тов.3
Верно по­лу­че­ны два из пе­ре­чис­лен­ных (см. кри­те­рий на 1 балл) ре­зуль­та­тов.2
Верно по­лу­чен один из сле­ду­ю­щих ре­зуль­та­тов:

  — при­мер в п. а;

  — обос­но­ван­ное ре­ше­ние п. б;

  — обос­но­ва­ние в п. в того, что S может при­ни­мать все целые зна­че­ния (от­лич­ные от −1 и 1);

  — обос­но­ва­ние в п. в того, что ра­вен­ства S = −1 и S = 1 не­воз­мож­ны.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл4
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 86
Классификатор алгебры: Числа и их свой­ства
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025