Ре­ше­ние. а)  Ис­поль­зу­ем фор­му­лу ко­си­ну­са двой­но­го угла, затем  — фор­му­лу ко­си­ну­са суммы:

б)  От­бе­рем корни при по­мо­щи три­го­но­мет­ри­че­ской окруж­но­сти. Под­хо­дят:

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. а)  За­ме­тим, что по­сколь­ку AE  =  DF, то пря­мые AD, BC, EF па­рал­лель­ны. Сле­до­ва­тель­но, плос­кость KEF пе­ре­се­ка­ет­ся с плос­ко­стью SAD по пря­мой, также па­рал­лель­ной пря­мой AD. Пусть точка L  — точка пе­ре­се­че­ния этой пря­мой с реб­ром SD, O  — центр ос­но­ва­ния. Тогда

Таким об­ра­зом, сле­до­ва­тель­но, по об­рат­ной тео­ре­ме Фа­ле­са, пря­мые KE и SB па­рал­лель­ны, то есть плос­ко­сти KEF и SBC со­дер­жат две пары пе­ре­се­ка­ю­щих­ся па­рал­лель­ных пря­мых и, сле­до­ва­тель­но, па­рал­лель­ны.

б)  Из п. а) сле­ду­ет, что пря­мая KL па­рал­лель­на плос­ко­сти SBC, сле­до­ва­тель­но, рас­сто­я­ние от точки K до плос­ко­сти SBC равно рас­сто­я­нию до плос­ко­сти SBC от любой точки пря­мой KL. Пусть M и N  — се­ре­ди­ны ребер AD и BC со­от­вет­ствен­но. Рас­смот­рим плос­кость SMN, за­ме­тим, что она со­дер­жит вы­со­ту пи­ра­ми­ды SO, вы­со­та SO пер­пен­ди­ку­ляр­на сто­ро­не BC. Кроме того, от­ре­зок MN пер­пен­ди­ку­ля­рен сто­ро­не BC, сле­до­ва­тель­но, плос­кость SMN пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой BC.

Пусть G  — точка пе­ре­се­че­ния плос­ко­сти SMN с пря­мой KL. Из точки G в плос­ко­сти SMN на пря­мую SN опу­стим пер­пен­ди­ку­ляр GH, тогда от­ре­зок GH пер­пен­ди­ку­ля­рен сто­ро­не BC и от­ре­зок GH пер­пен­ди­ку­ля­рен от­рез­ку SN, сле­до­ва­тель­но, от­ре­зок GH пер­пен­ди­ку­ля­рен плос­ко­сти SBC и его длина равна рас­сто­я­нию от точк G (а сле­до­ва­тель­но, и от точки K) до плос­ко­сти SBC.

За­ме­тим, что сле­до­ва­тель­но, где   — рас­сто­я­ние от точки M до пря­мой SN, то есть длина вы­со­ты тре­уголь­ни­ка SMN, опу­щен­ной из вер­ши­ны M. На­хо­дим:

Сле­до­ва­тель­но,

от­ку­да

Ответ: б)

Ре­ше­ние. Пре­об­ра­зу­ем не­ра­вен­ство:

Ответ:

Ре­ше­ние. Фер­мер готов опла­тить  часов ра­бо­ты ком­бай­нов. Пусть пер­вый ком­байн будет ра­бо­тать y² часов и соберёт 8y т зер­но­вых, тогда вто­рой ком­байн будет ра­бо­тать  часов и соберёт  т зер­но­вых. Зна­чит, всего будет со­бра­но  т зер­но­вых. По смыс­лу за­да­чи

Найдём наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке Най­дем про­из­вод­ную:

При­рав­ня­ем про­из­вод­ную к нулю и найдём кри­ти­че­ские точки:

Функ­ция до­сти­га­ет наи­боль­ше­го зна­че­ния в точке мак­си­му­ма:

Таким об­ра­зом, за­тра­тив 20 000 руб., можно со­брать самое боль­шее 170 т зер­но­вых.

Ответ: 170.

Ре­ше­ние. а)  Рас­смот­рим по­доб­ные пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки ABO и COD. Если бы ост­рый угол BAO был равен углу DCO, то пря­мые AB и CD были бы па­рал­лель­ны. По­это­му Из усло­вия сле­ду­ет, что или или Без огра­ни­че­ния общ­но­сти можно счи­тать, что Тогда из по­до­бия тре­уголь­ни­ков AOD и BOC по­лу­чим, что (если равны углы ODA и OBC, то были бы па­рал­лель­ны пря­мые BC и AD). Таким об­ра­зом, в тре­уголь­ни­ке ABC сто­ро­ны AB и BC равны.

В тре­уголь­ни­ке ADC от­ре­зок DO слу­жит бис­сек­три­сой и вы­со­той, зна­чит, AD  =  DC. Сле­до­ва­тель­но, а зна­чит, в че­ты­рех­уголь­ник ABCD можно впи­сать окруж­ность. Это и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  Тре­уголь­ник ABD пря­мо­уголь­ный, по­сколь­ку

Ги­по­те­ну­за тре­уголь­ни­ка ABD равна 13, а вы­со­та, про­ве­ден­ная к ги­по­те­ну­зе, равна 6.

Пусть E  — центр окруж­но­сти, впи­сан­ной в ABCD, F  — точка ка­са­ния окруж­но­сти со сто­ро­ной AB, G  — точка ка­са­ния окруж­но­сти со сто­ро­ной AD. Пусть далее Из по­до­бия тре­уголь­ни­ков FBE и ABD по­лу­ча­ем: от­ку­да Из тео­ре­мы Пи­фа­го­ра на­хо­дим, что Кроме того, Решая эту си­сте­му, по­лу­ча­ем, что

от­ку­да

Ответ:

Ре­ше­ние. Пер­вый слу­чай: Тогда

По­след­нее урав­не­ние имеет на про­ме­жут­ке един­ствен­ный ко­рень при от­ку­да

Под­ста­вив в не­ра­вен­ство по­лу­чим:

В этом слу­чае урав­не­ние при усло­вии имеет на про­ме­жут­ке един­ствен­ный ко­рень при и не имеет на про­ме­жут­ке кор­ней при и при

Вто­рой слу­чай: Тогда из ис­ход­но­го урав­не­ния по­лу­ча­ем:

По­след­нее урав­не­ние имеет на про­ме­жут­ке един­ствен­ный ко­рень Под­ста­вив в не­ра­вен­ство по­лу­чим: от­ку­да

В этом слу­чае урав­не­ние при усло­вии имеет на про­ме­жут­ке един­ствен­ный ко­рень при и не имеет на про­ме­жут­ке кор­ней при

Ответ:

Ре­ше­ние. Пусть a юно­шей от­пра­ви­ли по 4 пись­ма и b юно­шей от­пра­ви­ли по 21 пись­му. Тогда ко­ли­че­ство де­ву­шек ко­ли­че­ство от­прав­лен­ных писем

а)  Спра­ши­ва­ет­ся, имеет ли урав­не­ние ре­ше­ние. За­пи­шем его в виде Ясно, что числа и яв­ля­ют­ся одним из ре­ше­ний. То есть если 14 юно­шей от­пра­ви­ли по 4 пись­ма и трое юно­шей от­пра­ви­ли по 21 пись­му, то всего они от­пра­ви­ли 119 писем, ко­то­рые можно рас­пре­де­лить между 17 де­вуш­ка­ми так, чтобы каж­дая по­лу­чи­ла ровно 7 писем.

б)  Общее ко­ли­че­ство писем долж­но де­лить­ся на ко­ли­че­ство де­ву­шек без остат­ка. За­ме­тим, что тогда в силу тож­де­ства число также долж­но де­лить­ся на Если не де­лит­ся на 17, то b де­лит­ся на что про­ти­во­ре­чит усло­ви­ям Зна­чит, де­лит­ся на 17. Наи­мень­шее на­ту­раль­ное число, де­ля­ще­е­ся на 17,  — это 17. При­мер того, что де­ву­шек может быть ровно 17, при­ведён в преды­ду­щем пунк­те.

в)  Пусть a юно­шей от­пра­ви­ли по 4 пись­ма и юно­шей от­пра­ви­ли по 21 пись­му. Тогда сум­мар­но они от­пра­ви­ли писем, а число по­лу­чен­ных де­вуш­ка­ми писем не мень­ше

По­лу­ча­ем

от­ку­да

При имеем что про­ти­во­ре­чит усло­вию

Если то сум­мар­ное ко­ли­че­ство от­прав­лен­ных писем равно Эти пись­ма можно рас­пре­де­лить между де­вуш­ка­ми сле­ду­ю­щим об­ра­зом: 40 де­ву­шек по­лу­чи­ли от 0 до 39 писем и ещё одна  — 47. Таким об­ра­зом, наи­боль­шее воз­мож­ное ко­ли­че­ство де­ву­шек  — это 41.

Ответ: а)  да; б)  17; в)  41.