PDF-версии: 1. Тип 13 № 650209 
Классификатор алгебры: Уравнения смешанного типа, Тригонометрические уравнения, сводимые к целым на синус или косинус, Основное тригонометрическое тождество и его следствия
Методы алгебры: Использование основного тригонометрического тождества и следствий из него
Уравнения. Тригонометрия и логарифмы
i
а) Решите уравнение 
б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие промежутку 
Решение. а) Заметим, что уравнение определено при 
Преобразуем уравнение с учетом этого условия.
Условию на 
удовлетворяют только корни 
б) Отберем корни при помощи двойных неравенств:
Этим значениям k соответствуют корни 
Этим значениям k соответствуют корни 
Ответ: а) 
б) 
Критерии проверки:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ответ: а) б)
б) 650209
а) б)
б) 
и 
На ребрах AA1 и CD отмечены точки 
Таким образом, прямоугольные треугольники MKD и PBA подобны. Тогда 
и 
откуда
и 
Заметим, что
и 
Что и требовалось доказать.
то есть 
Используя результат пункта a), получаем, что 
при 
(см. рис.). Для того, чтобы система имела ровно три решения, необходимо, чтобы уравнение 
и одно решение при 
является решением при всех 
Значит, нужно найти такие значения a, для которых уравнение имеет один корень на (−4; 0] и не имеет корней при 
то уравнение (⁎) имеет единственное решение 
поскольку его левая часть убывает, а правая — возрастает. При 
уравнение (⁎) также имеет единственное решение. Следовательно, 
а тогда функция 
возрастает и пересекается с прямой 
на полуинтервале 
тогда и только тогда, когда одновременно 
и 
Имеем:
имело одно решение при 
и рассмотрим уравнение 
для функции
Найдем производную:
а потому функция 
возрастает, а уравнение 
сохраняет знак при 
заключаем, что 
Таким образом, показано, что функция 
убывает на (−4; ∞). Найдем пределы:
имеет один корень на (−4; 0] и не имеет корней на луче (0; ∞). Множество значений 
функции 
Таким образом, 