На плоскости даны 8 отрезков. Длина каждого отрезка является натуральным числом, не превосходящим 20. Пусть n – число различных треугольников, которые можно составить из этих отрезков. Один и тот же отрезок может использоваться для разных треугольников, но не может использоваться дважды для одного треугольника.
а) Может ли n = 60?
б) Может ли n = 55?
в) Найдите наименьшее возможное значение n, если среди данных отрезков нет трех равных.
а) Ясно, что количество треугольников не может быть больше числа сочетаний из восьми по три, а 
б) Пусть длины отрезков такие: 20, 19, 18, 17, 16, 15, 14, 6. Тогда возможно ровно 55 треугольников (из 56 возможных сочетаний не годится только одно: 6, 14, 20. Для всех остальных неравенство треугольника выполнено).
в) Докажем, что 
не годится. Пусть длины отрезков равны 
Если ни одного треугольника составить нельзя, то 
Аналогично, 
значит, 
Тогда 
значит, 
Продолжая цепочку, получим: 
Значит, 
не меньше 21. Противоречие.
Приведем пример с 
Используя предыдущее рассуждение получаем такой набор:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 20. Единственный возможный треугольник — это 8, 13, 20.
Ответ: а) Нет; б) Да; в) 1.