Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д13 C3 № 506058
i

Ре­ши­те си­сте­му не­ра­венств: си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x конец ар­гу­мен­та в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка 10 минус x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: x конец дроби мень­ше или равно 2x плюс 5, новая стро­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: \log конец ар­гу­мен­та _9 левая круг­лая скоб­ка 3x в квад­ра­те минус 4x плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 1 боль­ше \log _3 левая круг­лая скоб­ка 3x в квад­ра­те минус 4x плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка . конец си­сте­мы .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пусть t= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 9 левая круг­лая скоб­ка 3x в квад­ра­те минус 4x плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка конец ар­гу­мен­та боль­ше или равно 0 тогда \log _3 левая круг­лая скоб­ка 3x в квад­ра­те минус 4x плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка = 2t в квад­ра­те . Имеем:

t плюс 1 боль­ше 2t в квад­ра­те рав­но­силь­но 2t в квад­ра­те минус t минус 1 мень­ше 0 рав­но­силь­но минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше t мень­ше 1 \undersett боль­ше или равно 0\mathop рав­но­силь­но 0 мень­ше или равно t мень­ше 1.

Вернёмся к ис­ход­ной пе­ре­мен­ной:

0 мень­ше или равно ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 9 левая круг­лая скоб­ка 3x в квад­ра­те минус 4x плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка конец ар­гу­мен­та мень­ше 1 рав­но­силь­но 0 мень­ше или равно ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 9 левая круг­лая скоб­ка 3x в квад­ра­те минус 4x плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше 1 рав­но­силь­но

рав­но­силь­но 1 мень­ше или равно 3x в квад­ра­те минус 4x плюс 2 мень­ше 9 рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка 3x в квад­ра­те минус 4x плюс 2 боль­ше или равно 1, новая стро­ка 3x в квад­ра­те минус 4x плюс 2 мень­ше 9 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка 3x в квад­ра­те минус 4x плюс 1 боль­ше или равно 0, новая стро­ка 3x в квад­ра­те минус 4x минус 7 мень­ше 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но

 

рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 2 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 4 минус 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , x боль­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 2 плюс 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , конец си­сте­мы . новая стро­ка дробь: чис­ли­тель: 2 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 4 плюс 21 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби мень­ше x мень­ше дробь: чис­ли­тель: 2 плюс 5, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , x боль­ше или равно 1, конец си­сте­мы . новая стро­ка минус 1 мень­ше x мень­ше дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний новая стро­ка минус 1 мень­ше x мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , новая стро­ка 1 мень­ше или равно x мень­ше дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби . конец со­во­куп­но­сти .

Итак, най­де­но мно­же­ство ре­ше­ний вто­ро­го не­ра­вен­ства: левая круг­лая скоб­ка минус 1; дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \cup левая квад­рат­ная скоб­ка 1; дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка .

 

Те­перь решим пер­вое не­ра­вен­ство си­сте­мы. Най­дем огра­ни­че­ния на x:

си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка x в квад­ра­те умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 10 минус x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 0, новая стро­ка x не равно 0 конец си­сте­мы рав­но­силь­но . си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка левая круг­лая скоб­ка x минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка x плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно 0, новая стро­ка x не равно 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний новая стро­ка минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та мень­ше или равно x мень­ше 0, новая стро­ка 0 мень­ше x мень­ше или равно ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та . конец со­во­куп­но­сти .

Рас­смот­рим пер­вое не­ра­вен­ство с уче­том по­лу­чен­ных огра­ни­че­ний:

си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та мень­ше или равно x мень­ше 0, новая стро­ка минус x ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 минус x конец ар­гу­мен­та в квад­ра­те мень­ше или равно 2x в квад­ра­те плюс 5x конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та мень­ше или равно x мень­ше 0, новая стро­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 минус x конец ар­гу­мен­та в квад­ра­те боль­ше или равно минус 2x минус 5. конец си­сте­мы .

За­ме­тим, что вто­рое не­ра­вен­ство, а вме­сте с ним и вся по­лу­чен­ная си­сте­ма вы­пол­не­ны, если минус 2x минус 5 мень­ше 0, то есть при x боль­ше минус дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . Тогда ре­ше­ни­я­ми си­сте­мы яв­ля­ет­ся ин­тер­вал минус дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше x мень­ше 0. Слу­чай минус 2x минус 5 боль­ше или равно 0 не лежит во мно­же­стве ре­ше­ний пер­во­го не­ра­вен­ства. Далее,

си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка 0 мень­ше x мень­ше или равно ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та , новая стро­ка x ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 минус x конец ар­гу­мен­та в квад­ра­те мень­ше или равно 2x в квад­ра­те плюс 5x конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка 0 мень­ше x мень­ше или равно ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та , новая стро­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 минус x конец ар­гу­мен­та в квад­ра­те мень­ше или равно 2x плюс 5 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка 0 мень­ше x мень­ше или равно ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та , новая стро­ка 10 минус x в квад­ра­те мень­ше или равно 4x в квад­ра­те плюс 20x плюс 25 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но

 

рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка 0 мень­ше x мень­ше или равно ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та , новая стро­ка 5x в квад­ра­те плюс 20x плюс 15 боль­ше или равно 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка 0 мень­ше x мень­ше или равно ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та , новая стро­ка x в квад­ра­те плюс 4x плюс 3 боль­ше или равно 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка 0 мень­ше x мень­ше или равно ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та , новая стро­ка со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x мень­ше или равно минус 3, x боль­ше или равно минус 1 конец си­сте­мы . конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но 0 мень­ше x мень­ше или равно ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та .

Таким об­ра­зом, най­де­но мно­же­ство ре­ше­ний пер­во­го не­ра­вен­ства си­сте­мы: левая квад­рат­ная скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ;0 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 0; ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Пе­ре­се­че­ни­ем ре­ше­ний обоих не­ра­венств будет мно­же­ство левая круг­лая скоб­ка минус 1;0 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 0; дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \cup левая квад­рат­ная скоб­ка 1; дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка .

 

Ответ: левая круг­лая скоб­ка минус 1;0 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 0; дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \cup левая квад­рат­ная скоб­ка 1; дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ.3
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в обоих не­ра­вен­ствах ис­ход­ной си­сте­мы.2
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в одном не­ра­вен­стве ис­ход­ной си­сте­мы.

ИЛИ

по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния си­сте­мы не­ра­венств.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 36
Классификатор алгебры: Ир­ра­ци­о­наль­ные не­ра­вен­ства, Не­ра­вен­ства сме­шан­но­го типа, Си­сте­мы не­ра­венств
Методы алгебры: Вве­де­ние за­ме­ны
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:
Классификатор стереометрии: Ци­линдр
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025