Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д17 C6 № 505770
i

При каких зна­че­ни­ях па­ра­мет­ра a все числа из от­рез­ка  минус 1 мень­ше или равно x мень­ше или равно 3 удо­вле­тво­ря­ют не­ра­вен­ству 2ax плюс 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2x плюс 3 конец ар­гу­мен­та минус 2x плюс 3a минус 5 мень­ше 0 ?

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Сде­ла­ем за­ме­ну  ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2x плюс 3 конец ар­гу­мен­та =t, 2x=t в квад­ра­те минус 3. t при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка 1;3 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка , при­чем все эти зна­че­ния до­сти­га­ют­ся.

at в квад­ра­те плюс 2t минус t в квад­ра­те минус 2 мень­ше 0 при t при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка 1;3 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка ;

 левая круг­лая скоб­ка a минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка t в квад­ра­те плюс 2t минус 2 мень­ше 0.

Ясно что a мень­ше 1, иначе это не­вер­но при t=1.

Столь же ясно, что при a мень­ше или равно 0 имеем  левая круг­лая скоб­ка a минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка t в квад­ра­те плюс 2t минус 2=at в квад­ра­те минус левая круг­лая скоб­ка t минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус 1 мень­ше 0, по­это­му все не­по­ло­жи­тель­ные a под­хо­дят.

Если же a мень­ше 1, то гра­фик пред­став­ля­ет собой па­ра­бо­лу вет­вя­ми вниз с вер­ши­ной при t= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 1 минус a конец дроби боль­ше 0. По­это­му функ­ция f левая круг­лая скоб­ка t пра­вая круг­лая скоб­ка = левая круг­лая скоб­ка a минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка t в квад­ра­те плюс 2t минус 2 воз­рас­та­ет при 0 мень­ше t мень­ше дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 1 минус a конец дроби , а потом на­чи­на­ет убы­вать. Это зна­чит, что если не­ра­вен­ство на­ру­ша­ет­ся в какой-то точке от­рез­ка  левая квад­рат­ная скоб­ка 0;2 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка , то оно на­ру­ша­ет­ся либо при t= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 1 минус a конец дроби (если эта точка лежит на нуж­ном от­рез­ке), либо при t=1 или t=3. При t=1 не­ра­вен­ство вы­пол­не­но.

f левая круг­лая скоб­ка 3 пра­вая круг­лая скоб­ка =9a минус 9 плюс 6 минус 2=9a минус 5 мень­ше 0, от­ку­да a мень­ше дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби . Тогда 1 минус a боль­ше дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби ,  дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 1 минус a конец дроби мень­ше дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби мень­ше 3. По­сколь­ку также 1 минус a мень­ше 1 и  дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 1 минус a конец дроби боль­ше 1, во всех под­хо­дя­щих нам си­ту­а­ци­ях точка  дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 1 минус a конец дроби лежит на от­рез­ке [1; 3]. Про­ве­рим зна­че­ние в ней.

f левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 1 минус a конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 1 минус a конец дроби минус 2 мень­ше 0, 1 мень­ше 2 левая круг­лая скоб­ка 1 минус a пра­вая круг­лая скоб­ка ,2a мень­ше 1.

Итак, 0 мень­ше a мень­ше дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

 

Ответ: a при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ; дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен пра­виль­ный ответ.4
С по­мо­щью вер­но­го рас­суж­де­ния по­лу­че­но мно­же­ство зна­че­ний a, от­ли­ча­ю­ще­е­ся от ис­ко­мо­го ко­неч­ным чис­лом точек.3
С по­мо­щью вер­но­го рас­суж­де­ния по­лу­че­ны все гра­нич­ные точки ис­ко­мо­го мно­же­ства зна­че­ний a.2
Верно най­де­на хотя бы одна гра­нич­ная точка ис­ко­мо­го мно­же­ства зна­че­ний a

ИЛИ

уста­нов­ле­но, что ис­ход­ное урав­не­ние при всех зна­че­ни­ях a имеет един­ствен­ное ре­ше­ние .

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0

Аналоги к заданию № 505770: 505946 Все

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 69
Классификатор алгебры: Не­ра­вен­ства с па­ра­мет­ром