PDF-версии: 1. Тип Д8 C1 № 505682 
Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, сводимые к целым на синус или косинус
Методы алгебры: Формулы двойного угла, Формулы приведения, Введение вспомогательного угла, Тригонометрические формулы суммы и разности функций
Уравнения, системы уравнений. Сложные тригонометрические уравнения
i
a) Решите уравнение 
б) Найдите все корни на промежутке 
Решение. а) Решим уравнение:
Уравнение 
решений не имеет.
б) Выборка корней. Заданному отрезку принадлежит единственный корень 
Ответ: а) 
б)
Критерии проверки:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б. ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ответ: а) б)
б) 505682
а) б)
б) 
Подставив полученные результаты в третье уравнение, получим значение b: 
где x0, y0, z0 — координаты точки K (2; 4; 0):
или 
), то есть получается, что BO — гипотенуза и диаметр малой окружности с центром в точке E. Далее, треугольник BTO вписан в малую окружность, а его угол BTO опирается на диаметр, и потому равен 
Так как 
и O является центром окружности, описанной вокруг треугольника ABC, то OT — серединный перпендикуляр, то есть T — середина AB. Значит, TR — средняя линия треугольника ABC, поэтому TR || AC. 
(как соответственные при параллельных прямых). В итоге получаем:
уравнение (*) примет вид: 0 = 6. Следовательно, при 
и при 
обозначим такое наибольшее натуральное число, что для любого натурального числа k, не превосходящего 
число 
представимо в виде суммы k квадратов натуральных чисел.
неравенство 
квадратов: Вычитая k единиц, получаем равенство: 
Получается, что 13 можно представить как суммы чисел, на единицу меньших, чем квадрат, то есть чисел вида: 0, 3, 8, 15, …. Но это, очевидно, не так! Поэтому, 
то 
то есть необходимо, чтобы 
5, 10, 13, 17. 
Cначала заметим, что если число можно записать в виде суммы k квадратов, среди которых есть четный, то его можно представить в виде суммы 
квадратов, так как 
Если таким образом последовательно расщеплять квадраты в равенстве 
то можно получить представления числа 
в виде суммы 5, 8, 11, … 155 квадратов. Аналогично, из равенства 
получаем представления числа 
получаем представления числа 
представимо как сумма чисел вида 
то есть чисел 0, 3, 8, 15 ...(числа могут повторяться). Докажем теперь, что если 
и 
то N можно представить в виде суммы k квадратов. Действительно, условие 
эквивалентно условию 
А условие 
— условию 
Так как 
то 
представимо как сумма чисел вида 
то есть не более 
можно сделать их количество равным 
то 
Действительно, если верно равенство: 
то расщепляя слагаемые в равенстве 
получим представление числа 
в виде суммы 
квадратов. Отправляясь таким образом от представлений числа 
квадратов, получаем представление числа в виде суммы квадратов. Теперь «сцепим» две полученные цепочки значений 
