Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д16 C7 № 505687

Для любого натурального числа n через S(n) обозначим такое наибольшее натуральное число, что для любого натурального числа k, не превосходящего S(n), число n в степени 2 представимо в виде суммы k квадратов натуральных чисел.

а) Докажите для любого n больше 3 неравенство S(n) меньше n в степени 2 – 13.

б) Найдите хотя бы одно такое натуральное число n, что S(n) = n в степени 2 – 14.

в) Докажите, что существует бесконечно много таких натуральных n, что S(n) = n в степени 2 – 14.

Решение.

а) Пусть n в степени 2 может быть представлено в виде суммы k=n в степени 2 минус 13 квадратов: Вычитая k единиц, получаем равенство: 13=(a_1 в степени 2 минус 1) плюс (a_2 в степени 2 минус 1) плюс умножить на s плюс (a_k в степени 2 минус 1). Получается, что 13 можно представить как суммы чисел, на единицу меньших, чем квадрат, то есть чисел вида: 0, 3, 8, 15, …. Но это, очевидно, не так! Поэтому, S(n)\len в степени 2 минус 14.

б) Так как n\ge4 то n в степени 2 минус 14\ge2, то есть необходимо, чтобы n в степени 2 было представимо в виде суммы двух квадратов. Хорошо, известно, что в этом случае n само должно быть равно сумме двух неравных квадратов. Несколько первых таких n: 5, 10, 13, 17.

5 и 10 не годятся, так как 25 и 100 не представимы в виде суммы трех квадратов. Докажем, что S(13)=13 в степени 2 минус 14=155. Cначала заметим, что если число можно записать в виде суммы k квадратов, среди которых есть четный, то его можно представить в виде суммы k плюс 3 квадратов, так как (2m) в степени 2 =m в степени 2 плюс m в степени 2 плюс m в степени 2 плюс m в степени 2 . Если таким образом последовательно расщеплять квадраты в равенстве 13 в степени 2 =8 в степени 2 плюс 8 в степени 2 плюс 4 в степени 2 плюс 4 в степени 2 плюс 3 в степени 2 то можно получить представления числа 13 в степени 2 в виде суммы 5, 8, 11, … 155 квадратов. Аналогично, из равенства 13 в степени 2 =8 в степени 2 плюс 8 в степени 2 плюс 4 в степени 2 плюс 4 в степени 2 плюс 2 в степени 2 плюс 2 в степени 2 плюс 1 в степени 2 получаем представления числа 13 в степени 2 в виде суммы 7, 10, 13, … 154 квадратов. Из равенства 13 в степени 2 =8 в степени 2 плюс 8 в степени 2 плюс 4 в степени 2 плюс 3 в степени 2 плюс 3 в степени 2 плюс 2 в степени 2 плюс 1 в степени 2 плюс 1 в степени 2 плюс 1 в степени 2 . получаем представления числа 13 в степени 2 в виде суммы 9, 12, 15, … 153 квадратов.

Теперь выпишем представления 13 в степени 2 в виде суммы k квадратов для оставшихся k.

k=1: 13 в степени 2 =13 в степени 2 .

k=2: 13 в степени 2 =5 в степени 2 плюс 12 в степени 2 .

k=3: 13 в степени 2 =3 в степени 2 плюс 4 в степени 2 =12 в степени 2 .

k=4: 13 в степени 2 =10 в степени 2 плюс 8 в степени 2 плюс 2 в степени 2 плюс 1 в степени 2 .

k=6: 13 в степени 2 =3 в степени 2 плюс 2 в степени 2 плюс 2 в степени 2 плюс 2 в степени 2 плюс 2 в степени 2 плюс 12 в степени 2 .

в) Заметим, что любое m больше или равно 14 представимо как сумма чисел вида x в степени 2 минус 1, то есть чисел 0, 3, 8, 15 ...(числа могут повторяться). Докажем теперь, что если N\ge28 и N/2 меньше или равно k меньше или равно N минус 14, то N можно представить в виде суммы k квадратов. Действительно, условие N=a_1 в степени 2 плюс a_2 в степени 2 плюс умножить на s плюс a_k в степени 2 эквивалентно условию N минус k=a_1 в степени 2 минус 1 плюс a_2 в степени 2 минус 1 плюс умножить на s плюс a_k в степени 2 минус 1. А условие N/2 меньше или равно k\leN минус 14— условию 14 меньше или равно N минус k меньше или равно k. Так как N минус k больше или равно 14, то N минус k представимо как сумма чисел вида x в степени 2 минус 1, причём слагаемых не более N минус k, то есть не более k. Добавляя слагаемые 0 в степени 2 минус 1 в степени 2 минус 1, можно сделать их количество равным k. Осталось доказать, что если S(n)=n в степени 2 минус 14, то S(2n)=(2n) в степени 2 минус 14. Действительно, если верно равенство: n в степени 2 =a_1 в степени 2 плюс a_2 в степени 2 плюс умножить на s плюс a_k в степени 2 , то расщепляя слагаемые в равенстве (2n) в степени 2 =(2a_1) в степени 2 плюс умножить на s плюс (2a_k) в степени 2 , получим представление числа (2n) в степени 2 в виде суммы k,k плюс 3,k плюс 6,\ldots,4k квадратов. Отправляясь таким образом от представлений числа n в степени 2 в виде суммы 1,2,\ldots,4S(n) минус 6=4n в степени 2 минус 62 квадратов, получаем представление числа в виде суммы квадратов. Теперь «сцепим» две полученные цепочки значений k. Это можно сделать при выполнении условий:

n больше или равно 13;4n в степени 2 больше или равно 28;4n в степени 2 минус 61 больше или равно дробь, числитель — 4n в степени 2 , знаменатель — 2 .

Все эти условия выполняются при n больше или равно 13.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 55.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства