Для любого натурального числа n через 
обозначим такое наибольшее натуральное число, что для любого натурального числа k, не превосходящего 
число 
представимо в виде суммы k квадратов натуральных чисел.
а) Докажите для любого 
неравенство 
б) Найдите хотя бы одно такое натуральное число n, что 
в) Докажите, что существует бесконечно много таких натуральных n, что
а) Пусть может быть представлено в виде суммы 
квадратов: Вычитая k единиц, получаем равенство: 
Получается, что 13 можно представить как суммы чисел, на единицу меньших, чем квадрат, то есть чисел вида: 0, 3, 8, 15, …. Но это, очевидно, не так! Поэтому, 
б) Так как 
то 
то есть необходимо, чтобы было представимо в виде суммы двух квадратов. Хорошо, известно, что в этом случае n само должно быть равно сумме двух неравных квадратов. Несколько первых таких 
5, 10, 13, 17.
5 и 10 не годятся, так как 25 и 100 не представимы в виде суммы трех квадратов. Докажем, что 
Cначала заметим, что если число можно записать в виде суммы k квадратов, среди которых есть четный, то его можно представить в виде суммы 
квадратов, так как 
Если таким образом последовательно расщеплять квадраты в равенстве 
то можно получить представления числа 
в виде суммы 5, 8, 11, … 155 квадратов. Аналогично, из равенства 
получаем представления числа в виде суммы 7, 10, 13, … 154 квадратов. Из равенства 
получаем представления числа в виде суммы 9, 12, 15, … 153 квадратов.
Теперь выпишем представления в виде суммы k квадратов для оставшихся 
в) Заметим, что любое 
представимо как сумма чисел вида 
то есть чисел 0, 3, 8, 15 ...(числа могут повторяться). Докажем теперь, что если 
и 
то N можно представить в виде суммы k квадратов. Действительно, условие 
эквивалентно условию 
А условие 
— условию 
Так как 
то 
представимо как сумма чисел вида причём слагаемых не более 
то есть не более Добавляя слагаемые 
можно сделать их количество равным Осталось доказать, что если 
то 
Действительно, если верно равенство: 
то расщепляя слагаемые в равенстве 
получим представление числа 
в виде суммы 
квадратов. Отправляясь таким образом от представлений числа в виде суммы 
квадратов, получаем представление числа в виде суммы квадратов. Теперь «сцепим» две полученные цепочки значений Это можно сделать при выполнении условий:
Все эти условия выполняются при 