Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д19 C7 № 505687

Для любого натурального числа n через S левая круглая скобка n правая круглая скобка обозначим такое наибольшее натуральное число, что для любого натурального числа k, не превосходящего S левая круглая скобка n правая круглая скобка , число n в квадрате представимо в виде суммы k квадратов натуральных чисел.

а)  Докажите для любого n больше 3 неравенство S левая круглая скобка n правая круглая скобка меньше n в квадрате – 13.

б)  Найдите хотя бы одно такое натуральное число n, что S левая круглая скобка n правая круглая скобка = n в квадрате – 14.

в)  Докажите, что существует бесконечно много таких натуральных n, что S левая круглая скобка n правая круглая скобка = n в квадрате – 14.

Спрятать решение

Решение.

а)  Пусть n в квадрате может быть представлено в виде суммы k=n в квадрате минус 13 квадратов: Вычитая k единиц, получаем равенство: 13= левая круглая скобка a_1 в квадрате минус 1 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка a_2 в квадрате минус 1 правая круглая скобка плюс умножить на s плюс левая круглая скобка a_k в квадрате минус 1 правая круглая скобка . Получается, что 13 можно представить как суммы чисел, на единицу меньших, чем квадрат, то есть чисел вида: 0, 3, 8, 15, …. Но это, очевидно, не так! Поэтому, S левая круглая скобка n правая круглая скобка \leqslantn в квадрате минус 14.

б)  Так как n\geqslant4 то n в квадрате минус 14\geqslant2, то есть необходимо, чтобы n в квадрате было представимо в виде суммы двух квадратов. Хорошо, известно, что в этом случае n само должно быть равно сумме двух неравных квадратов. Несколько первых таких n: 5, 10, 13, 17.

5 и 10 не годятся, так как 25 и 100 не представимы в виде суммы трех квадратов. Докажем, что S левая круглая скобка 13 правая круглая скобка =13 в квадрате минус 14=155. Cначала заметим, что если число можно записать в виде суммы k квадратов, среди которых есть четный, то его можно представить в виде суммы k плюс 3 квадратов, так как  левая круглая скобка 2m правая круглая скобка в квадрате =m в квадрате плюс m в квадрате плюс m в квадрате плюс m в квадрате . Если таким образом последовательно расщеплять квадраты в равенстве 13 в квадрате =8 в квадрате плюс 8 в квадрате плюс 4 в квадрате плюс 4 в квадрате плюс 3 в квадрате то можно получить представления числа 13 в квадрате в виде суммы 5, 8, 11, … 155 квадратов. Аналогично, из равенства 13 в квадрате =8 в квадрате плюс 8 в квадрате плюс 4 в квадрате плюс 4 в квадрате плюс 2 в квадрате плюс 2 в квадрате плюс 1 в квадрате получаем представления числа 13 в квадрате в виде суммы 7, 10, 13, … 154 квадратов. Из равенства 13 в квадрате =8 в квадрате плюс 8 в квадрате плюс 4 в квадрате плюс 3 в квадрате плюс 3 в квадрате плюс 2 в квадрате плюс 1 в квадрате плюс 1 в квадрате плюс 1 в квадрате . получаем представления числа 13 в квадрате в виде суммы 9, 12, 15, … 153 квадратов.

Теперь выпишем представления 13 в квадрате в виде суммы k квадратов для оставшихся k.

k=1: 13 в квадрате =13 в квадрате .

k=2: 13 в квадрате =5 в квадрате плюс 12 в квадрате .

k=3: 13 в квадрате =3 в квадрате плюс 4 в квадрате =12 в квадрате .

k=4: 13 в квадрате =10 в квадрате плюс 8 в квадрате плюс 2 в квадрате плюс 1 в квадрате .

k=6: 13 в квадрате =3 в квадрате плюс 2 в квадрате плюс 2 в квадрате плюс 2 в квадрате плюс 2 в квадрате плюс 12 в квадрате .

в)  Заметим, что любое m больше или равно 14 представимо как сумма чисел вида x в квадрате минус 1, то есть чисел 0, 3, 8, 15 ...(числа могут повторяться). Докажем теперь, что если N\geqslant28 и N/2 меньше или равно k меньше или равно N минус 14, то N можно представить в виде суммы k квадратов. Действительно, условие N=a_1 в квадрате плюс a_2 в квадрате плюс умножить на s плюс a_k в квадрате эквивалентно условию N минус k=a_1 в квадрате минус 1 плюс a_2 в квадрате минус 1 плюс умножить на s плюс a_k в квадрате минус 1. А условие N/2 меньше или равно k\leqslantN минус 14— условию 14 меньше или равно N минус k меньше или равно k. Так как N минус k больше или равно 14, то N минус k представимо как сумма чисел вида x в квадрате минус 1, причём слагаемых не более N минус k, то есть не более k. Добавляя слагаемые 0 в квадрате минус 1 в квадрате минус 1, можно сделать их количество равным k. Осталось доказать, что если S левая круглая скобка n правая круглая скобка =n в квадрате минус 14, то S левая круглая скобка 2n правая круглая скобка = левая круглая скобка 2n правая круглая скобка в квадрате минус 14. Действительно, если верно равенство: n в квадрате =a_1 в квадрате плюс a_2 в квадрате плюс умножить на s плюс a_k в квадрате , то расщепляя слагаемые в равенстве  левая круглая скобка 2n правая круглая скобка в квадрате = левая круглая скобка 2a_1 правая круглая скобка в квадрате плюс умножить на s плюс левая круглая скобка 2a_k правая круглая скобка в квадрате , получим представление числа  левая круглая скобка 2n правая круглая скобка в квадрате в виде суммы k,k плюс 3,k плюс 6,\ldots,4k квадратов. Отправляясь таким образом от представлений числа n в квадрате в виде суммы 1,2,\ldots,4S левая круглая скобка n правая круглая скобка минус 6=4n в квадрате минус 62 квадратов, получаем представление числа в виде суммы квадратов. Теперь «сцепим» две полученные цепочки значений k. Это можно сделать при выполнении условий:

n больше или равно 13;4n в квадрате больше или равно 28;4n в квадрате минус 61 больше или равно дробь: числитель: 4n в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби .

Все эти условия выполняются при n больше или равно 13.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.2
Верно получен один из следующий результатов:

— обоснованное решение в п. а;

— пример в п. б;

— искомая оценка в п. в;

— пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл4
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 55.
Классификатор алгебры: Числа и их свойства