Ре­ше­ние. а)  По фор­му­ле ко­си­ну­са удво­ен­но­го угла спра­вед­ли­во тож­де­ство Под­став­ляя, по­лу­ча­ем:

б)  От­бе­рем корни, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку при по­мо­щи три­го­но­мет­ри­че­ской окруж­но­сти (см. рис.). По­лу­чим числа:

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. а)  Пусть точки O и O₁  — цен­тры ниж­не­го и верх­не­го ос­но­ва­ний приз­мы со­от­вет­ствен­но, а L  — точка пе­ре­се­че­ния пря­мых BD и KM. За­ме­тим, что от­ре­зок KM  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка ABC, сле­до­ва­тель­но, пря­мые KM, AC и A₁C₁ па­рал­лель­ны между собой.

Кроме того, точка L  — се­ре­ди­на от­рез­ка BO, по­это­му от­ре­зок NL  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка BOB₁. Зна­чит, пря­мая  NL па­рал­лель­на пря­мой  OB₁. По­ка­жем, что пря­мая  OB₁ также па­рал­лель­на пря­мой  DO₁. Дей­стви­тель­но, че­ты­рех­уголь­ник ODO₁B₁  — па­рал­ле­ло­грамм, так как сто­ро­ны его про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны OD и O₁B₁ па­рал­лель­ны и равны. Итак, пря­мые NL, OB₁ и DO₁ па­рал­лель­ны между собой.

Таким об­ра­зом, плос­ко­сти KMN и DA₁C₁ со­дер­жат две пары пе­ре­се­ка­ю­щих­ся па­рал­лель­ных пря­мых и, сле­до­ва­тель­но, па­рал­лель­ны. За­ме­тим, что, таким об­ра­зом, плос­ко­сти α и DA₁C₁  — па­рал­лель­ны и обе эти плос­ко­сти про­хо­дят через точку  D. По­это­му плос­кость DA₁C₁ сов­па­да­ет с плос­ко­стью α.

б)  Из п. а) сле­ду­ет, что се­че­ни­ем яв­ля­ет­ся тре­уголь­ник DA₁C₁. По тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах от­рез­ки DO₁ и A₁C₁ пер­пен­ди­ку­ляр­ны, по­сколь­ку от­ре­зок  D₁O₁ пер­пен­ди­ку­ля­рен диа­го­на­ли  A₁C₁. От­сю­да на­хо­дим:

зна­чит,

Таким об­ра­зом, пло­щадь се­че­ния приз­мы плос­ко­стью α равна:

Ответ: б)  54.

Ре­ше­ние. Пе­рейдём в левой части не­ра­вен­ства к ло­га­риф­мам по ос­но­ва­нию 5:

В зна­ме­на­те­ле пер­вой дроби стоит вы­ра­же­ние ко­то­рое опре­де­ле­но лишь при При этом усло­вии рас­кро­ем мо­дуль в зна­ме­на­те­ле вто­рой дроби, по­лу­чим:

Пусть тогда

Вернёмся к ис­ход­ной пе­ре­мен­ной:

Ответ:

Ре­ше­ние. Пусть в кре­дит будет взято 30S (услов­ных еди­ниц). Тогда в пер­вом банке долг будет еже­год­но умень­шать­ся на ве­ли­чи­ну 3S, сле­ду­ю­щим об­ра­зом:

На­чис­лен­ные про­цен­ты будут со­став­лять:

По­это­му пе­ре­пла­та по кре­ди­ту со­ста­вит

Во вто­ром банке долг еже­год­но будет умень­шать­ся на 5S, а сам долг будет умень­шать­ся так:

На­чис­лен­ные про­цен­ты будут со­став­лять:

Пе­ре­пла­та по кре­ди­ту со­ста­вит

Пе­ре­пла­та мень­ше во вто­ром банке. Раз­ность пе­ре­плат со­став­ля­ет

то есть 7% от суммы кре­ди­та.

Ответ: во вто­ром банке пе­ре­пла­та будет мень­ше на  7% от суммы кре­ди­та.

Ре­ше­ние. а)  Обо­зна­чим точку пе­ре­се­че­ния пря­мых RP и SQ с окруж­но­стью так, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Тогда

от­ку­да

и

от­ку­да

Из вы­ра­же­ния (2) вы­чтем (1), по­лу­ча­ем:

от­ку­да

Сле­до­ва­тель­но, зна­чит, тре­уголь­ник RFP  — рав­но­бед­рен­ный и RT  =  TP. Ана­ло­гич­но ST  =  TQ, тогда четырёхуголь­ник PQRS  — па­рал­ле­ло­грамм с пер­пен­ди­ку­ляр­ны­ми диа­го­на­ля­ми, то есть ромб.

б)  За­ме­тим, что тогда тре­уголь­ни­ки KEN и MEL по­доб­ны по двум углам, зна­чит,

от­ку­да сле­ду­ет, что KE  =  18, KL  =  14 и NE  =  12, NM  =  6.

По свой­ству бис­сек­три­сы тогда LP  =  2 и PM  =  3. Ана­ло­гич­но тре­уголь­ни­ки FNM и FLK по­доб­ны, сле­до­ва­тель­но,

то есть

от­ку­да FM  =  9 и NF  =  6. По свой­ству бис­сек­три­сы от­ку­да NQ  =  2,4 и QM  =  3,6.

По тео­ре­ме ко­си­ну­сов

тогда

или Ана­ло­гич­но

сле­до­ва­тель­но,

от­ку­да

Таким об­ра­зом, пло­щадь ромба PQRS равна

Ответ: б)

Ре­ше­ние. Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние

Пусть тогда

В си­сте­ме ко­ор­ди­нат xOb по­стро­им гра­фик по­лу­чен­ной си­сте­мы.

Урав­не­ние	Вид гра­фи­ка	Ко­ор­ди­на­ты вер­ши­ны	Точки пе­ре­се­че­ния с осью Ox	Зна­че­ние	Зна­че­ние
	па­ра­бо­ла, ветви на­прав­ле­ны вверх			10	4
	па­ра­бо­ла, ветви на­прав­ле­ны вниз			−10	−4

С по­мо­щью гра­фи­ка на­хо­дим, что си­сте­ма, а зна­чит, и ис­ход­ное урав­не­ние имеют:

—  при один ко­рень;

—  при два корня;

—  при один ко­рень;

—  при два корня;

—  при три корня;

—  при че­ты­ре корня;

—  при два корня;

—  при че­ты­ре корня;

—  при три корня;

—  при два корня;

—  при один ко­рень;

—  при два корня;

—  при один ко­рень.

Зна­чит, урав­не­ние имеет ровно два корня при

Ответ:

Ре­ше­ние. Будем счи­тать, что но­ме­ра цве­тов могут быть и боль­ше 2431, но если два но­ме­ра от­ли­ча­ют­ся на число, крат­ное 2431, то они обо­зна­ча­ют один цве­ток.

а)  Оче­вид­но, пчела по­се­тит сна­ча­ла все цветы с не­чет­ны­ми но­ме­ра­ми (1, 3, 5, ..., 2431), потом пе­ре­ле­тит на цве­ток  2 и по­се­тит все цветы с чет­ны­ми но­ме­ра­ми. Всего она по­бы­ва­ет на 2431 цвет­ке.

б)  Пусть x + 1  — ми­ни­маль­ный номер цвет­ка, на ко­то­рый пчела смог­ла по­пасть. Зна­чит, за t дей­ствий она смог­ла сме­стить­ся на x цве­тов. По­вто­рив то же ко­ли­че­ство дей­ствий, она по­па­дет на цве­ток с но­ме­ром 2x + 1, потом 3x + 1 и так далее. Вы­бе­рем k так, чтобы

то есть возь­мем мо­мент, когда оче­ред­ная груп­па ходов за­став­ля­ет пчелу про­ле­теть не мень­ше круга. Если то она на­хо­дит­ся на цвет­ке с но­ме­ром

что про­ти­во­ре­чит ми­ни­маль­но­сти x. Зна­чит, от­ку­да Тогда пчеле уда­ет­ся по­се­тить цветы с но­ме­ра­ми 1, x + 1, 2x + 1, 3x + 1, ... и толь­ко их. Если бы она могла по­се­тить цве­ток между bx + 1 и то, сде­лав на дей­ствий боль­ше, она ока­за­лась бы между цве­та­ми и то есть между цве­та­ми и а зна­чит, между цве­та­ми 1 и что не­воз­мож­но.

Всего пчела по­се­ща­ет цве­ток. Но урав­не­ние не имеет целых ре­ше­ний.

в)  За­ме­тим, что за 2431 пе­ре­лет пчела сме­ща­ет­ся на число цве­тов, крат­ное 2431, то есть воз­вра­ща­ет­ся на ис­ход­ный цве­ток. По­это­му за 100 000 пе­ре­ле­тов она точно по­се­тит все тео­ре­ти­че­ски до­ступ­ные ей цветы. Как видно из преды­ду­ще­го пунк­та, нужно найти наи­мень­шее целое число, пред­ста­ви­мое в виде то есть найти наи­боль­ший целый де­ли­тель числа 2431 и взять его на роль x. При этом само число 2431 брать нель­зя  — оно со­от­вет­ству­ет пе­ре­ме­ще­нию на 2431 цве­ток, что за­пре­ще­но по усло­вию.

По­сколь­ку наи­боль­шим из осталь­ных де­ли­те­лей будет Если пчела будет пе­ре­ле­тать на 221 цве­ток, она смо­жет по­се­тить лишь 11 раз­ных цве­тов.

Ответ: а)  2431; б)  нет; в)  11.