Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 16 № 638594
i

15 де­каб­ря пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на сумму 900 тысяч руб­лей на 21 месяц. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

—  1-⁠го числа каж­до­го ме­ся­ца долг воз­рас­та­ет на 3% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

—  со 2-⁠го по 14-⁠е число каж­до­го ме­ся­ца не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга;

—  15-⁠го числа каж­до­го ме­ся­ца с 1-⁠го по 20-⁠й долг дол­жен быть на одну и ту же сумму мень­ше долга на 15-⁠е число преды­ду­ще­го ме­ся­ца.

  — к 15-му числу 21-⁠го ме­ся­ца кре­дит дол­жен быть пол­но­стью по­га­шен.

Какой долг (в тыс. руб.) будет 15 числа 20-⁠го ме­ся­ца, если общая сумма вы­плат после пол­но­го по­га­ше­ния кре­ди­та со­ста­вит 1215 тыс. руб.?

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пусть долг еже­ме­сяч­но умень­ша­ет­ся на x  тыс. руб. Обо­зна­чим сумму кре­ди­та S (тыс. руб.) и по­ло­жим

k=1 плюс дробь: чис­ли­тель: 3\%, зна­ме­на­тель: 100\% конец дроби =1,03.

За­пол­ним таб­ли­цу.

 

Номер
ме­ся­ца
Долг на 1-е число ме­ся­ца,
тыс. руб.
Вы­пла­та,
тыс. руб.
Долг на 15-е число ме­ся­ца,
тыс. руб.
900=S
1kSkS минус левая круг­лая скоб­ка S минус x пра­вая круг­лая скоб­ка S минус x
2k левая круг­лая скоб­ка S минус x пра­вая круг­лая скоб­ка k левая круг­лая скоб­ка S минус x пра­вая круг­лая скоб­ка минус левая круг­лая скоб­ка S минус 2x пра­вая круг­лая скоб­ка S минус 2x
............
19k левая круг­лая скоб­ка S минус 18x пра­вая круг­лая скоб­ка k левая круг­лая скоб­ка S минус 18x пра­вая круг­лая скоб­ка минус левая круг­лая скоб­ка S минус 19x пра­вая круг­лая скоб­ка S минус 19x
20k левая круг­лая скоб­ка S минус 19x пра­вая круг­лая скоб­ка k левая круг­лая скоб­ка S минус 19x пра­вая круг­лая скоб­ка минус левая круг­лая скоб­ка S минус 20x пра­вая круг­лая скоб­ка  S минус 20x
21k левая круг­лая скоб­ка S минус 20x пра­вая круг­лая скоб­ка k левая круг­лая скоб­ка S минус 20x пра­вая круг­лая скоб­ка 0

 

Пер­вые 20 вы­плат пред­став­ля­ют собой ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию, найдём ее сумму:

B= дробь: чис­ли­тель: kS минус левая круг­лая скоб­ка S минус x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс k левая круг­лая скоб­ка S минус 19x пра­вая круг­лая скоб­ка минус левая круг­лая скоб­ка S минус 20x пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 20 плюс k левая круг­лая скоб­ка S минус 20x пра­вая круг­лая скоб­ка =21kS минус 20S плюс 210x минус 210kx.

По усло­вию S=900, а сумма вы­плат со­ста­вит 1215 тыс. руб. Со­ста­вим и решим урав­не­ние:

21 умно­жить на 1,03 умно­жить на 900 минус 20 умно­жить на 900 плюс 210x минус 210 умно­жить на 1,03 умно­жить на x=1215 рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но 1467 минус 6,3x=1215 рав­но­силь­но 6,3x=252 рав­но­силь­но x=40.

Тогда долг на 15-⁠е число 20-⁠го ме­ся­ца со­ста­вит

900 минус 20 умно­жить на 40=100 тыс. руб.

Ответ: 100 тыс. руб.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ2
Верно по­стро­е­на ма­те­ма­ти­че­ская мо­дель1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше0
Мак­си­маль­ный балл2
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 420
Классификатор алгебры: За­да­чи о кре­ди­тах