Пусть тогда каж­до­му по­ло­жи­тель­но­му зна­че­нию t со­от­вет­ству­ет ровно одно зна­че­ние x. Ис­ход­ное урав­не­ние имеет ровно три корня тогда и толь­ко тогда, когда урав­не­ние

имеет ровно три по­ло­жи­тель­ных корня.

Рас­смот­рим функ­цию

Най­дем её про­из­вод­ную:

Най­ден­ная про­из­вод­ная об­ра­ща­ет­ся в нуль в точ­ках 2 и a. Для того, чтобы урав­не­ние имело ровно три раз­лич­ных по­ло­жи­тель­ных корня, не­об­хо­ди­мо и до­ста­точ­но (см. рис.), чтобы зна­че­ние функ­ции в нуле было от­ри­ца­тель­ным, а на по­ло­жи­тель­ной по­лу­оси она имела два экс­тре­му­ма раз­ных зна­ков, то есть чтобы имела ре­ше­ния си­сте­ма не­ра­венств:

1. Слу­чай a > 2

2. Слу­чай a < 2

За­ме­тим, что

Под­ста­вив эти зна­че­ния, по­лу­ча­ем:

Ответ: