Точка F — середина бокового ребра SA правильной четырехугольной пирамиды SABCD, точка М лежит на стороне основания AB. Плоскость β проходит через точки F и М параллельно боковому ребру SC.
а) Плоскость β пересекает ребро SD в точке К. Докажите, что 
б) Пусть 
Найдите отношение объемов многогранников, на которые плоскость β разбивает пирамиду.
а) Пусть точка O — центр основания, проведем прямую FO, заметим, что прямая FO параллельна ребру SC, следовательно, точка О и прямая МО лежат в плоскости β. Пусть прямая MO пересекает ребро CD в точке L, прямая KL лежит в плоскости β, следовательно, прямая KL параллельна ребру SC. Заметим, что треугольники AMO и CLO равны, следовательно, CL = AM и
По теореме Фалеса 
следовательно, 
б) Обозначим объем пирамиды SBCD за V, площадь ее основания — за So, а высоту — за h. Заметим, что
Точка F — середина отрезка SA, а 
поэтому высоты пирамид FAMOD и KDOL равны 
и 
соответственно. Тогда
Рассмотрим пирамиду ASOD, где точка A — вершина, а треугольник SOD — основание, получаем:
Так как точка F — середина отрезка SA, высота пирамиды FKDO равна половине высоты пирамиды AKDO, следовательно, 
Таким образом, объем пирамиды KFADLM равен
а поскольку 
то
Ответ: б) 