PDF-версии: 
а) Решите уравнение 
б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие промежутку 
Решение. а) Область определения уравнения задается системой соотношений: 
Последнее условие означает, что 
оно выполнено при всех значениях переменной. Условие 
эквивалентно условию 
что верно, если одновременно 
и 
При указанных условиях 
и 
поэтому при переходе к основаниям 
и 
не произойдет потери решений. Получаем
откуда следует, что
Сделаем замену 
тогда 
а значит, левая часть уравнения записывается в виде
Решим уравнение:
Таким образом,
Условию на синус и косинус удовлетворяет только 
б) Отберем корни при помощи двойного неравенства:
Найденному значению k соответствует корень 
Ответ: а) 
б)
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б). | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
б) б) 
Найдите отношение объемов многогранников, на которые плоскость β разбивает пирамиду.
По теореме Фалеса 
следовательно, 
поэтому высоты пирамид FAMOD и KDOL равны 
и 
соответственно. Тогда
Таким образом, объем пирамиды KFADLM равен
то
млн руб.,
млн руб.,
млн руб.,
млн руб., а прибыль от проекта составит 
млн руб.,
и 
Поэтому треугольники BMD и MCD подобны по двум углам, значит, 
откуда 
Отсюда следует, что 
Из подобия треугольников CMD и CBM получаем, что 
а потому 
Из подобия треугольников CPB и CDA получаем, что 
откуда следует, что 
Таким образом, 
или 
Следовательно, отрезок CL — биссектриса и высота треугольника CMN.
тогда по теореме косинусов получаем
то есть
представляет собой известное соотношение: высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, является средним пропорциональным между проекциями катетов на гипотенузу.
уравнение можно записать в виде:
не является корнем данного уравнения, поэтому деление обеих частей уравнения на 
не приведет к потере корня и полученное уравнение будет равносильно исходному. Имеем:
получаем
получаем: 
где 
монотонно убывает при 
поэтому каждое свое значение из промежутка 
она принимает ровно один раз. Значит, при найденных значениях параметра исходное уравнение имеет ровно один корень, больший −1.
получаем уравнение
где теперь 
Решим уравнение:
:
монотонно убывает при 
поэтому каждое свое значение из промежутка [0; 1) она принимает ровно один раз. Значит, при найденных значениях параметра a, исходное уравнение имеет ровно один корень, не больший −2.
уравнение имеет один корень;
уравнение имеет два корня;
уравнение имеет один корень;
уравнение имеет два корня;
уравнение имеет один корень.
уравнение 
заметим, что график функции f представляет собой параболу с вершиной в точке 
и точкой пересечения с осью ординат 
Из графических соображений очевидно, что такая парабола пересекает ось абсцисс в точке, лежащей правее 1, тогда и только тогда, когда 
откуда 
а значит, 
в виде 
и заметим, что парабола, являющаяся графиком функции g, имеет вершину в точке с абсциссой 
причем 
Из этого следует, что точка пересечения графика g с осью абсцисс лежит в полуинтервале [0; 1) в том и только том случае, когда 
откуда 
а значит, 
и 
исходное уравнение имеет два корня, а если выполнено ровно одно из этих неравенств, уравнение имеет единственное решение. Таким образом, возможны два случая:
ни одно из написанных чисел не делится на 
и ни одно из написанных чисел не является делителем числа 
такого быть не может.
значит, все разности имеют вид 2n при 
Поскольку все числа нечетны, число 2n может делиться на них, только если n делится. Но n меньше любого из них. В этом примере 11 чисел.