Ре­ше­ние. а)  Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

б)  От­бе­рем корни, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку с по­мо­щью двой­ных не­ра­венств. Из пер­вой серии кор­ней:

По­лу­чен­но­му про­ме­жут­ку со­от­вет­ству­ют зна­че­ния и По­лу­ча­ем корни и От­бе­рем корни из вто­рой серии:

По­лу­чен­но­му про­ме­жут­ку со­от­вет­ству­ет зна­че­ние По­лу­ча­ем ко­рень От­бе­рем корни из тре­тьей серии:

По­лу­чен­но­му про­ме­жут­ку со­от­вет­ству­ет зна­че­ние По­лу­ча­ем ко­рень

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. а)  Так как плос­кость α пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой C₁M и со­дер­жит ребро BB₁, то ребро BB₁ пер­пен­ди­ку­ляр­но пря­мой C₁M, сле­до­ва­тель­но, ребро AA₁ пер­пен­ди­ку­ляр­но пря­мой C₁M, то есть в тре­уголь­ни­ке AA₁C₁ пря­мая C₁M яв­ля­ет­ся ме­ди­а­ной и вы­со­той, сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ник AA₁C₁  — рав­но­бед­рен­ный, где

б)  BB₁ лежит в плос­ко­сти α и ребро CC₁ па­рал­лель­но ребру BB₁, по­это­му ребро CC₁ па­рал­лель­но плос­ко­сти α и рас­сто­я­ние от точки C до плос­ко­сти α равно рас­сто­я­нию от C₁ до плос­ко­сти α. Пусть K и K₁  — точки пе­ре­се­че­ния плос­ко­сти α с реб­ра­ми AC и A₁C₁, со­от­вет­ствен­но. Ребра AA₁, BB₁, CC₁ па­рал­лель­ны, сле­до­ва­тель­но, пря­мая KK₁ па­рал­лель­на ребру AA₁. Точки H и G  — точки пе­ре­се­че­ния KK₁ с C₁M и C₁A, со­от­вет­ствен­но. Тре­уголь­ник C₁K₁G по­до­бен тре­уголь­ни­ку C₁A₁A. Вы­со­та C₁M пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти α, сле­до­ва­тель­но, ис­ко­мое рас­сто­я­ние равно C₁H. Тогда и сле­до­ва­тель­но,

А так как

то

Ответ: б) 6.

Ре­ше­ние. Пусть Тогда

Вер­нем­ся к ис­ход­ной пе­ре­мен­ной:

Ответ:

Ре­ше­ние. Пусть сумма кре­ди­та S вы­пла­чи­ва­ет­ся за n ме­ся­цев.

Долг умень­ша­ет­ся на 15-е число рав­но­мер­но:

Пер­во­го числа долг воз­рас­та­ет на 5%, зна­чит, он со­став­ля­ет:

Вы­пла­ты:

Сумма вы­плат будет равна:

Тогда

Ответ: 9.

Ре­ше­ние. а)  По тео­ре­ме cину­сов ра­ди­ус окруж­но­сти опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ABD равен

то есть равен ра­ди­у­су окруж­но­сти опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка BDC, от­сю­да IBJD  — ромб, сле­до­ва­тель­но, пря­мые BI и DJ па­рал­лель­ны, ч. т. д.

б)  Диа­го­на­ли ромба пер­пен­ди­ку­ляр­ны, зна­чит, от­ре­зок IJ пер­пен­ди­ку­ля­рен пря­мой BD. За­ме­тим, что IM и AD, JN и DC со­от­вет­ствен­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны, точка M  — се­ре­ди­на AD, точка N  — се­ре­ди­на DC. Зна­чит,

Тогда

Ответ: б)

Ре­ше­ние. Урав­не­ние рав­но­силь­но си­сте­ме

Из урав­не­ния по­лу­ча­ем и Чтобы урав­не­ние имело три раз­лич­ных корня, тре­бу­ет­ся, чтобы при и вы­пол­ня­лось не­ра­вен­ство а также чтобы были вы­пол­не­ны усло­вия и По­лу­ча­ем си­сте­му не­ра­венств:

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Да. Возь­мем в первую груп­пу 1 ка­мень весом 10 000 г, во вто­рую 2 камня весом по 3000 г, в тре­тью 44 камня по 100 г. Усло­вия будут вы­пол­не­ны.

б)  Нет. До­пу­стим, мы по­стро­и­ли такой при­мер. Ясно, что

сле­до­ва­тель­но, и сле­до­ва­тель­но, Зна­чит,

в)  Для на­ча­ла за­ме­тим, что от­ку­да

Итак, то есть Ана­ло­гич­но от­ку­да

что дает то есть

Зна­чит, и При этом по­это­му или Итак, наи­мень­шее воз­мож­ное k это 122.

При­ве­дем при­мер для най­ден­но­го k. В тре­тьей груп­пе будут 17 кам­ней, все они весят по 100 г, тогда В пер­вой груп­пе будут 14 кам­ней, все они весят по 122 г, зна­чит, Во вто­рой груп­пе будут 16 кам­ней, 8 из них весят по 106 г, осталь­ные 8 по 107 г, сле­до­ва­тель­но,

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  122.