РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Вариант № 47380143

ЕГЭ по математике 02.06.2022. Основная волна. Санкт-Петербург, Москва, центр. Вариант 404

а)  Решите уравнение $2 синус 2x плюс 2 синус левая круглая скобка минус x правая круглая скобка минус 2 косинус левая круглая скобка минус x правая круглая скобка плюс 1 = 0.$

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; 4 Пи правая квадратная скобка .$

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ на диагонали BD₁ отмечена точка N так, что BN : ND₁  =  1 : 2. Точка O  — середина отрезка CB₁.

а)  Докажите, что прямая NO проходит через точку A.

б)  Найдите объём параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁, если длина отрезка NO равна расстоянию между прямыми BD₁ и CB₁ и равна  $корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента .$

Решение.

а)  Точка O  — середина диагоналей CB₁ и BC₁ прямоугольника BCC₁B₁ (см. рис.). Следовательно, точка O лежит в плоскости ABC₁. Треугольники AD₁N и OBN подобны по двум сторонам и углу между ними, значит,

$дробь: числитель: AD_1, знаменатель: BO конец дроби = 2 = дробь: числитель: D_1N, знаменатель: BN конец дроби$

$\angle AD_1N = \angle AD_1B = \angle D_1BC_1 = \angle NBO.$

Следовательно,

$\angle ANO = \angle AND_1 плюс \angle D_1NO = \angle ONB плюс \angle D_1NO = \angle D_1NB = 180 градусов.$

Таким образом, точка A лежит на прямой NO.

б)  Прямые BD₁ и CB₁  — скрещивающиеся, а длина отрезка NO равна расстоянию между ними, значит, он перпендикулярен обеим этим прямым. Таким образом, прямая CB₁ перпендикулярна плоскости ABC₁, поскольку она перпендикулярна лежащим в ней прямым AB и AO. Следовательно, диагонали прямоугольника BCC₁B₁ перпендикулярны, то есть он является квадратом. Из подобия треугольников AD₁N и OBN следует, что $AN = 2NO = 2 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента .$ Отрезок BN  — высота прямоугольного треугольника ABO (см. рис.). Получаем:

$BN = корень из: начало аргумента: AN умножить на NO конец аргумента = 2,$

$BD_1 = 6,$

$BO = корень из: начало аргумента: BN в квадрате плюс NO в квадрате конец аргумента = корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента ,$

$AB = корень из: начало аргумента: AO в квадрате минус OB в квадрате конец аргумента = 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$

Значит, $BC = BB_1 = корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента умножить на BO = 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$ Таким образом, в прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ все рёбра равны  $2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$ Следовательно, его объём равен  $24 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$

Ответ: б)  $24 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$

Приведем решение Игоря Эльмана (Москва).

а)  Если параллельные проекции l₁ и l₂ прямой l на две непараллельные плоскости пересекаются, а прямые l, l₁ и l₂ не лежат в одной плоскости, то прямая l проходит через точку пересечения l₁ и l₂. Действительно, пусть плоскость α содержит прямые l и l₁, плоскость β содержит прямые l и l₂ (см. рис.), и пусть $X = l_1 \cap l_2.$ Поскольку плоскости α и β пересекаются по прямой l, она содержит все их общие точки, а значит, и точку X. (Условие «прямые l, l₁ и l₂ не лежат в одной плоскости» существенно, контрпримером является прямая, проходящая через точки (1; 0; 0) и (0; 0; 1) и не проходящая через начало координат, в то время как ее проекции  — оси Ох и Oy пересекаются в начале координат.)

Пусть точки $N'$ и $O'$   — проекции точек N и O на плоскость ABC. Точка $O'$   — середина отрезка BC. По теореме Фалеса $дробь: числитель: BN', знаменатель: N'D конец дроби = дробь: числитель: BN, знаменатель: ND_1 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$ Пусть отрезок $N'P$   — перпендикуляр к стороне AB. Из подобия прямоугольных треугольников ABD и $PBN'$ по острому углу следует $N'P = дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби AD = дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби BC$ и $AP = дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби AB.$ Имеем:

$тангенс \angle BAO' = дробь: числитель: BO', знаменатель: AB конец дроби = дробь: числитель: BC, знаменатель: 2AB конец дроби ,$

$тангенс \angle PAN' = дробь: числитель: PN', знаменатель: AP конец дроби = дробь: числитель: дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби BC, знаменатель: дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби AB конец дроби = дробь: числитель: BC, знаменатель: 2AB конец дроби ,$

что означает, что точки A, $N'$ и $O'$ лежат на одной прямой.

Аналогично можно установить, что и проекция NO на плоскость ABB₁ проходит через точку A. Отсюда следует, что и прямая NO проходит через точку A.

б)  Прямые BD₁ и CB₁  — скрещивающиеся, расстояние между ними есть длина их общего перпендикуляра. Длина общего перпендикуляра наименьшая среди длин всех отрезков с концами на двух данных скрещивающихся прямых. Из вышесказанного заключаем, что отрезок NO перпендикулярен и прямой BD₁, и прямой CB₁. Тогда прямая CB₁ перпендикулярна наклонной AO, а следовательно, по теореме о трех перпендикулярах и её проекции BO. Следовательно, четырехугольник BB₁C₁C  — квадрат, как прямоугольник с перпендикулярными диагоналями.

Пусть $AB = a,$ $BC = BB_1 = b.$ По теореме Пифагора $AO' в квадрате плюс O'O в квадрате = AO в квадрате$ и $BN в квадрате плюс NO в квадрате = BO в квадрате :$

$a в квадрате плюс дробь: числитель: b в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби = AO в квадрате = 18$

$дробь: числитель: a в квадрате , знаменатель: 9 конец дроби плюс дробь: числитель: b в квадрате , знаменатель: 9 конец дроби плюс дробь: числитель: b в квадрате , знаменатель: 9 конец дроби плюс 2 = дробь: числитель: b в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби ,$

откуда $a = 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента ,$ $b = 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента ,$ следовательно, $V = ab в квадрате = 24 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$

Приведем решение пункта а) Ивана Иванова.

Пусть $AB = a,$ $AD = b,$ $AA_1 = c.$ Введем систему координат с началом в точке A так, чтобы направление оси Ox совпадало с направлением вектора $\overrightarrowAB,$ направление оси Oy  — с направлением вектора $\overrightarrowAD$ и направление оси Oz  — с направлением вектора $\overrightarrowAA_1.$ Следовательно,

$A левая круглая скобка 0; 0; 0 правая круглая скобка ,$

$O левая круглая скобка a; дробь: числитель: b, знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: c, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка ,$

$N левая круглая скобка дробь: числитель: 2a, знаменатель: 3 конец дроби ; дробь: числитель: b, знаменатель: 3 конец дроби ; дробь: числитель: c, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка .$

Найдем координаты векторов: $\overrightarrowAN левая круглая скобка дробь: числитель: 2a, знаменатель: 3 конец дроби ; дробь: числитель: b, знаменатель: 3 конец дроби ; дробь: числитель: c, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка$ и $\overrightarrowNO левая круглая скобка дробь: числитель: a, знаменатель: 3 конец дроби ; дробь: числитель: b, знаменатель: 6 конец дроби ; дробь: числитель: c, знаменатель: 6 конец дроби правая круглая скобка .$ Получаем $\overrightarrowAN = 2 \overrightarrowNO,$ следовательно, вектора $\overrightarrowAN$ и $\overrightarrowNO$ коллинеарны, то есть лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых. Точка N принадлежит обоим этим векторам, следовательно, они лежат на одной прямой, то есть точка A лежит на прямой ON, что и требовалось доказать.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

Решите неравенство: $5 в степени x минус дробь: числитель: 600, знаменатель: 5 в степени x минус 1 конец дроби больше или равно 0.$

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

В июле 2026 года планируется взять кредит на три года в размере 500 тыс. руб. Условия его возврата таковы:

  — каждый январь долг будет возрастать на 10% по сравнению с концом предыдущего года;

  — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

  — платежи в 2027 и в 2028 годах должны быть по 100 тыс. руб.;

  — к июлю 2029 года долг должен быть выплачен полностью.

Найдите сумму всех платежей после полного погашения кредита.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Верно построена математическая модель	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

На стороне острого угла с вершиной A отмечена точка B. Из точки B на биссектрису и другую сторону угла опущены перпендикуляры BC и BD соответственно.

а)  Докажите, что $AC в квадрате плюс CD в квадрате =AD в квадрате плюс DB в квадрате .$

б)  Прямые AC и BD пересекаются в точке T. Найдите отношение $AT:TC,$ если $косинус \angle ABC = дробь: числитель: 3, знаменатель: 8 конец дроби .$

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

$a в квадрате минус 9x в квадрате плюс 18 |x| минус 9 = 0$

имеет ровно два различных корня.

Решение.

При $x меньше или равно 0$ исходное уравнение принимает вид:

$a в квадрате минус 9x в квадрате минус 18x минус 9 = 0 равносильно a в квадрате минус левая круглая скобка 3x плюс 3 правая круглая скобка в квадрате = 0 равносильно левая круглая скобка a минус 3x минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка a плюс 3x плюс 3 правая круглая скобка = 0.$ $a в квадрате минус 9x в квадрате минус 18x минус 9 = 0 равносильно a в квадрате минус левая круглая скобка 3x плюс 3 правая круглая скобка в квадрате = 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка a минус 3x минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка a плюс 3x плюс 3 правая круглая скобка = 0.$

Получившееся уравнение задаёт на плоскости Oxa пару лучей: луч l₁ с началом в точке  $левая круглая скобка 0; 3 правая круглая скобка ,$ совпадающий с прямой $a = 3x плюс 3$ при $x меньше или равно 0,$ и луч l₂ с началом в точке  $левая круглая скобка 0; минус 3 правая круглая скобка ,$ совпадающий с прямой $a = минус 3x минус 3$ при $x меньше или равно 0.$ Лучи l₁ и l₃ пересекаются в точке  $левая круглая скобка минус 1; 0 правая круглая скобка .$ При $x больше или равно 0$ исходное уравнение принимает вид:

$a в квадрате минус 9x в квадрате плюс 18x минус 9 = 0 равносильно a в квадрате минус левая круглая скобка 3x минус 3 правая круглая скобка в квадрате = 0 равносильно левая круглая скобка a минус 3x плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка a плюс 3x минус 3 правая круглая скобка = 0.$ $a в квадрате минус 9x в квадрате плюс 18x минус 9 = 0 равносильно a в квадрате минус левая круглая скобка 3x минус 3 правая круглая скобка в квадрате = 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка a минус 3x плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка a плюс 3x минус 3 правая круглая скобка = 0.$

Получившееся уравнение задаёт на плоскости Oxa пару лучей: луч l₃ с началом в точке  $левая круглая скобка 0; 3 правая круглая скобка ,$ совпадающий с прямой $a = 3 минус 3x$ при $x больше или равно 0,$ и луч l₄ с началом в точке  $левая круглая скобка 0; минус 3 правая круглая скобка ,$ совпадающий с прямой $a = 3x минус 3$ при $x больше или равно 0.$ Лучи l₃ и l₄ пересекаются в точке  $левая круглая скобка 1; 0 правая круглая скобка .$

Число корней исходного уравнения равно числу точек пересечения прямой $a = c$ с объединением лучей l₁, l₂, l₃ и l₄.

Каждый из лучей l₁ и l₃ пересекается с прямой $a = c$ в одной точке при $c меньше или равно 3$ и не пересекается при $c больше 3.$

Каждый из лучей l₂ и l₄ пересекается с прямой $a = c$ в одной точке при $c больше или равно минус 3$ и не пересекается при $c меньше минус 3.$

Следовательно, при $a меньше минус 3$ и $a больше 3$ исходное уравнение имеет ровно два различных корня. При $c = минус 3$ и при $c = 3$ прямая $a = c$ проходит через общую точку лучей l₂ и l₄, l₁ и l₃ соответственно. Значит, при $a = минус 3$ и $a = 3$ исходное уравнение имеет ровно три корня.

При $c = 0$ прямая $a = c$ проходит через точки пересечения лучей l₃ и l₄, l₁ и l₂. Значит, при $a = 0$ исходное уравнение имеет ровно два корня.

Следовательно, при $минус 3 меньше a меньше 0$ и $0 меньше a меньше 3$ исходное уравнение имеет ровно четыре корня.

Таким образом, исходное уравнение имеет ровно два различных корня при $a меньше минус 3,$ $a = 0,$ и $a больше 3.$

Ответ: $a меньше минус 3,$ $a = 0,$ $a больше 3.$

Приведем другое решение.

Перепишем уравнение в виде

$9 левая круглая скобка |x| минус 1 правая круглая скобка в квадрате = a в квадрате равносильно совокупность выражений 3 |x| = 3 плюс a, 3 |x| = 3 минус a. конец совокупности .$

Ровно два корня уравнение имеет в следующих случаях.

1)  Правые части уравнений равны и положительны:

$система выражений 3 плюс a = 3 минус a, 3 плюс a больше 0, 3 минус a больше 0 конец системы . равносильно a = 0.$

2)  Правая часть одного из этих уравнений положительна, а другого  — отрицательна:

$совокупность выражений система выражений 3 плюс a больше 0, 3 минус a меньше 0, конец системы . система выражений 3 плюс a меньше 0, 3 минус a больше 0 конец системы . конец совокупности . равносильно совокупность выражений a больше 3, a меньше 3. конец совокупности .$

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	4
С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет	3
С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений	2
В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

На доске написано N различных натуральных чисел, каждое из которых не превосходит 159. Для любых двух написанных на доске чисел a и b, таких, что a < b, ни одно из написанных чисел не делится на b – a, и ни одно из написанных чисел не является делителем числа b – a.

а)  Могли ли на доске быть написаны какие-то два числа из чисел 28, 29 и 30?

б)  Среди написанных на доске чисел есть 13. Может ли N быть равно 20?

в)  Найдите наибольшее значение N.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получен один из следующий результатов: — обоснованное решение в п. а; — пример в п. б; — искомая оценка в п. в; — пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

ЕГЭ по математике 02.06.2022. Основная волна. Санкт-Петербург, Москва, центр. Вариант 404

Ключ

ЕГЭ по математике 02.06.2022. Основная волна. Санкт-Петербург, Москва, центр. Вариант 404