Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 14 № 626199
i

В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной пи­ра­ми­де SABCDEF с вер­ши­ной S бо­ко­вое ребро вдвое боль­ше сто­ро­ны ос­но­ва­ния.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость, про­хо­дя­щая через се­ре­ди­ны рёбер SA и и вер­ши­ну С, делит ребро  в от­но­ше­нии 1 : 3, счи­тая от вер­ши­ны В.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние, в ко­то­ром плос­кость, про­хо­дя­щая через се­ре­ди­ны рёбер и и вер­ши­ну С, делит ребро SF, счи­тая от вер­ши­ны S.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Пусть A1, B1, D1, E1 и F1  — точки пе­ре­се­че­ния ука­зан­но­го се­че­ния с рёбрами SA, SB, SD, SE и SF со­от­вет­ствен­но. За­ме­тим, что пря­мые A1E1 и AE па­рал­лель­ны, сле­до­ва­тель­но, плос­кость се­че­ния па­рал­лель­на пря­мым AE и BD, тогда пря­мые B1D1 и BD также па­рал­лель­ны.

Рас­смот­рим се­че­ние пи­ра­ми­ды плос­ко­стью SCF. Оно пе­ре­се­ка­ет­ся с плос­ко­стью CA1F1 по пря­мой CF1, с плос­ко­стью SAE по пря­мой SK, с плос­ко­стью SBD по пря­мой SL. Пусть K1 и L1  — точки пе­ре­се­че­ния SK и SL с пря­мой CF1 со­от­вет­ствен­но. При­ме­ним тео­ре­му Ме­не­лая к тре­уголь­ни­ку SKL и пря­мой CF1:

 дробь: чис­ли­тель: KK_1, зна­ме­на­тель: K_1S конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: SL_1, зна­ме­на­тель: L_1L конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: LC, зна­ме­на­тель: CK конец дроби =1,

 дробь: чис­ли­тель: SL_1, зна­ме­на­тель: SL конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 1 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 1 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 1 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: SB_1, зна­ме­на­тель: B_1B конец дроби .

б)  При­ме­ним тео­ре­му Ме­не­лая к тре­уголь­ни­ку SFL и пря­мой CF1:

 дробь: чис­ли­тель: SF_1, зна­ме­на­тель: F_1F конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: FC, зна­ме­на­тель: CL конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: LL_1, зна­ме­на­тель: L_1S конец дроби =1,

от­ку­да

 дробь: чис­ли­тель: SF_1, зна­ме­на­тель: F_1F конец дроби = дробь: чис­ли­тель: CL, зна­ме­на­тель: FC конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: L_1S, зна­ме­на­тель: LL_1 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 1 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

Ответ: б)  дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та a) и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а) и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а)

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 380
Методы геометрии: Тео­ре­ма Ме­не­лая
Классификатор стереометрии: Пра­виль­ная ше­сти­уголь­ная пи­ра­ми­да, Се­че­ние, про­хо­дя­щее через три точки