В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF с вершиной S боковое ребро вдвое больше стороны основания.
а) Докажите, что плоскость, проходящая через середины рёбер SA и SЕ и вершину С, делит ребро SВ в отношении 1 : 3, считая от вершины В.
б) Найдите отношение, в котором плоскость, проходящая через середины рёбер SА и SЕ и вершину С, делит ребро SF, считая от вершины S.
а) Пусть A1, B1, D1, E1 и F1 — точки пересечения указанного сечения с рёбрами SA, SB, SD, SE и SF соответственно. Заметим, что прямые A1E1 и AE параллельны, следовательно, плоскость сечения параллельна прямым AE и BD, тогда прямые B1D1 и BD также параллельны.
Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью SCF. Оно пересекается с плоскостью CA1F1 по прямой CF1, с плоскостью SAE по прямой SK, с плоскостью SBD по прямой SL. Пусть K1 и L1 — точки пересечения SK и SL с прямой CF1 соответственно. Применим теорему Менелая к треугольнику SKL и прямой CF1:
б) Применим теорему Менелая к треугольнику SFL и прямой CF1:
откуда
Ответ: б)

