Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

В пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­ме ABCA1B1C1 сто­ро­на ос­но­ва­ния AC равна 10 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , а бо­ко­вое ребро равно 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та . На ребре AC от­ме­че­на точка E так, что AE= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та . Точки F, N  — се­ре­ди­ны сто­рон A1B1 и B1C1 со­от­вет­ствен­но. Плос­кость α па­рал­лель­на пря­мой AB и со­дер­жит точки E и N.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая CF пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти α.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки F до плос­ко­сти α.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Про­ведём пря­мую DE па­рал­лель­но пря­мой AB, а пря­мую NM па­рал­лель­но пря­мой A1B1, тогда DEMN  — се­че­ние приз­мы плос­ко­стью α. За­ме­тим, что DE=9 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , NM=5 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та . Пусть F1  — про­ек­ция точки F на ABC, K и K1  — точки пе­ре­се­че­ния пря­мых CF1 и DE, C1F и MN со­от­вет­ствен­но, O  — точка пе­ре­се­че­ния пря­мых CF и KK1. Имеем:

CF_1=C_1F=15,\quad\quad K_1F= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби C_1F= дробь: чис­ли­тель: 15, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ,\quad\quad CK= дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 10 конец дроби CF_1= дробь: чис­ли­тель: 27, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ,

CF= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: CF_1 в квад­ра­те плюс FF_1 в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та =3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 35 конец ар­гу­мен­та ,\quad\quad KK_1= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: левая круг­лая скоб­ка K_1F минус KF_1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс FF_1 конец ар­гу­мен­та =3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 14 конец ар­гу­мен­та .

Тре­уголь­ни­ки CKO и FK1O по­доб­ны с ко­эф­фи­ци­ен­том k= дробь: чис­ли­тель: K_1F, зна­ме­на­тель: CK конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби , от­ку­да

FO= дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 14 конец дроби CF= дробь: чис­ли­тель: 15 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 35 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 14 конец дроби ,\quad\quad K_1O= дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 14 конец дроби KK_1= дробь: чис­ли­тель: 15 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 14 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 14 конец дроби .

За­ме­тим, что

FO в квад­ра­те плюс K_1O в квад­ра­те = дробь: чис­ли­тель: 15 в квад­ра­те умно­жить на 35, зна­ме­на­тель: 14 в квад­ра­те конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 15 в квад­ра­те умно­жить на 14, зна­ме­на­тель: 14 в квад­ра­те конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 15 в квад­ра­те умно­жить на 7 в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 14 в квад­ра­те конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 15 в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 2 в квад­ра­те конец дроби =K_1F в квад­ра­те .

Сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ник FK1O  — пря­мо­уголь­ный, и пря­мые FO и OK1 пер­пен­ди­ку­ляр­ны, то есть пря­мая CF пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой KK1. Кроме того, пря­мая CF пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой A1B1, то есть она также пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой NM, зна­чит, пря­мая CF пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти α.

б)  Из п. а) сле­ду­ет, что рас­сто­я­ние от точки F до плос­ко­сти α равно FO= дробь: чис­ли­тель: 15 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 35 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 14 конец дроби .

 

Ответ: дробь: чис­ли­тель: 15 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 35 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 14 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та a) и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а) и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а)

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 371
Методы геометрии: Тео­ре­ма Пи­фа­го­ра
Классификатор стереометрии: Пер­пен­ди­ку­ляр­ность пря­мой и плос­ко­сти, Рас­сто­я­ние от точки до плос­ко­сти, Се­че­ние, па­рал­лель­ное или пер­пен­ди­ку­ляр­ное пря­мой, Пра­виль­ная тре­уголь­ная приз­ма
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025