Ре­ше­ние. а)  Ис­ход­ное урав­не­ние рав­но­силь­но си­сте­ме:

б)  Отберём корни, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку при по­мо­щи еди­нич­ной окруж­но­сти. Под­хо­дят

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. а)  Назовём точки пе­ре­се­че­ния плос­ко­сти α с рёбрами AB, AD, SB и SD  — M, N, P и Q со­от­вет­ствен­но. От­ре­зок MN  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка ABD, R  — точка её пе­ре­се­че­ния с диа­го­на­лью ос­но­ва­ния AC. Точка R  — се­ре­ди­на AO, RE  — пря­мая пе­ре­се­че­ния плос­ко­сти SAC с плос­ко­стью α. Точка T  — точка пе­ре­се­че­ния пря­мой RE с вы­со­той SO, где O  — центр ос­но­ва­ния. По тео­ре­ме Ме­не­лая для тре­уголь­ни­ка SOC и пря­мой RE имеем:

б)  Се­че­ни­ем пи­ра­ми­ды плос­ко­стью яв­ля­ет­ся пя­ти­уголь­ник MNQEP, ко­то­рый можно раз­бить на тре­уголь­ник PQE и четырёхуголь­ник MNQP. Пря­мая MN па­рал­лель­на плос­ко­сти SBD, по­это­му пря­мые PQ, BD и MN па­рал­лель­ны, сле­до­ва­тель­но, MNQP  — тра­пе­ция. За­ме­тим, что пря­мая PQ пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти SAC, зна­чит, пря­мые RE и PQ пер­пен­ди­ку­ляр­ны, и RT  — вы­со­та тра­пе­ции MNQP, а TE  — вы­со­та тре­уголь­ни­ка PQE. Пусть E'  — про­ек­ция E на пря­мую AC. Тогда

Из п. а) сле­ду­ет:

Те­перь найдём пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды SABCD плос­ко­стью α:

Ответ: б)

Ре­ше­ние. Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

Тогда

Ответ:

Ре­ше­ние. Пусть сумма средств, о ко­то­рых идет речь, равна S у. е. Наи­мень­шая при­быль, ко­то­рую банку могут при­не­сти оба про­ек­та, равна

Банк по­лу­чит наи­мень­шую чи­стую при­быль 0,1S, если он вы­пла­тит своим кли­ен­там про­цен­ты по выс­шей став­ке. Пусть она равна a%, тогда:

Наи­боль­шая при­быль, ко­то­рую банку могут при­не­сти оба про­ек­та равна

Банк по­лу­чит наи­боль­шую чи­стую при­быль 0,15S, если он вы­пла­тит кли­ен­там про­цен­ты по низ­шей став­ке. Пусть она равна b%, тогда

Зна­чит, и наи­мень­ший, и наи­боль­ший воз­мож­ные уров­ни про­цент­ной став­ки равны и со­став­ля­ют 15%. То есть при став­ке 15% банк по­лу­чит от 10 до 15 про­цен­тов чи­стой при­бы­ли.

Ответ: 15%.

При­ме­ча­ние.

Эта за­да­ча, взя­тая нами из ва­ри­ан­та А. Ла­ри­на № 366, впер­вые была пред­ло­же­на на всту­пи­тель­ном эк­за­ме­не по ма­те­ма­ти­ке для по­сту­па­ю­щих на от­де­ле­ние ме­недж­мен­та эко­но­ми­че­ско­го фа­куль­те­та МГУ им. М. В. Ло­мо­но­со­ва в июле 1997 года и позже ци­ти­ро­ва­лась в ме­то­ди­че­ских пуб­ли­ка­ци­ях для аби­ту­ри­ен­тов и учи­те­лей. См., на­при­мер, Сер­ге­ев И. Н., Мель­ни­ков И. И., Олех­ник С. Н. Ма­те­ма­ти­ка. За­да­чи всту­пи­тель­ных эк­за­ме­нов с от­ве­та­ми и ре­ше­ни­я­ми (1993−1997 гг.) на стр. 72, или жур­нал Ма­те­ма­ти­ка в школе № 2 за 1998 год. В по­след­ней пуб­ли­ка­ции при­ве­де­но ре­ше­ние, да­ю­щее дру­гой ответ: наи­мень­ший воз­мож­ный уро­вень про­цент­ной став­ки со­став­ля­ет 10%, а наи­боль­ший  — 20%. При­во­дим его ниже (в ре­ше­нии опе­чат­ка: два­жды ука­за­но p_x, вто­рой раз долж­но быть p_y).

Ре­ше­ние, по сути, со­сто­ит в по­сле­до­ва­тель­ном по­лу­че­нии сле­ду­ю­щих оце­нок:

а это озна­ча­ет, что

Дей­ствия с не­ра­вен­ства­ми вы­пол­не­ны верно. Но по­че­му же от­ли­ча­ет­ся ответ?

Дело в по­стро­е­нии ма­те­ма­ти­че­ской мо­де­ли  — в пе­ре­во­де усло­вия с рус­ско­го на язык ма­те­ма­ти­че­ских со­от­но­ше­ний. В пер­вом ре­ше­нии фраза «Опре­де­лить наи­мень­ший и наи­боль­ший воз­мож­ные уров­ни про­цент­ной став­ки, при ко­то­рых чи­стая при­быль банка со­ста­вит не менее 10% и не более 15% го­до­вых» по­ни­ма­ет­ся сле­ду­ю­щим об­ра­зом: не­об­хо­ди­мо опре­де­лить уро­вень про­цент­ной став­ки, при ко­то­ром чи­стая при­быль банка НЕ ВЫЙ­ДЕТ ЗА ПРЕ­ДЕ­ЛЫ от 10% до 15%.

Вто­рое ре­ше­ние со­от­вет­ству­ет та­ко­му усло­вию: «Из­вест­но, что чи­стая при­быль банка со­ста­ви­ла от 10% до 15%, какой при этом могла быть про­цент­ная став­ка?». Дру­ги­ми сло­ва­ми, ав­то­ра­ми рас­смат­ри­ва­ет­ся во­прос о том, при каком зна­че­нии про­цент­ной став­ки чи­стая при­быль МОЖЕТ ОКА­ЗАТЬ­СЯ В ПРЕ­ДЕ­ЛАХ от 10% до 15% (но может и выйти за эти пре­де­лы).

Раз­ли­чие между двумя при­ве­ден­ны­ми во­про­са­ми ил­лю­стри­ру­ет при­ве­ден­ная спра­ва схема: если от­ло­жен­ная на вер­ти­каль­ной оси про­цент­ная став­ка для кли­ен­тов К лежит от 10 до 20 про­цен­тов, то при­быль банка Б может ока­зать­ся ока­зать­ся от 10 до 15 про­цен­тов, но может быть и 5%, и 20%. (Ана­ло­гич­но из усло­вия х  =  2, сле­ду­ет, что x > 0, но об­рат­ное не­вер­но.) Так и здесь: если 0,1 < Б < 0,15, то 0,10 < К < 0,20, но об­рат­ное не­вер­но. Дей­стви­тель­но, если 0,10 < К < 0,20, то 0,05 < Б < 0,20, а по­след­нее вклю­ча­ет в себя зна­че­ния 0,10 < Б < 0,15, но со­дер­жит и иные зна­че­ния.

По­вто­рим ска­зан­ное дру­ги­ми сло­ва­ми: в пер­вом ре­ше­нии мы ищем все такие K, чтобы для каж­до­го из них было верно не­ра­вен­ство 0,10 < Б < 0,15. Во вто­ром ре­ше­нии ав­то­ры ищут все такие К, ко­то­рые воз­мож­ны при 0,10 < Б < 0,15. На этот во­прос ав­то­ры от­ве­ча­ют верно. Но это дру­гая за­да­ча.

Ре­ше­ние. а)  Пусть ∠KLM  =  α. Тогда от­сю­да

Сле­до­ва­тель­но, и четырёхуголь­ник KLMO впи­сан в окруж­ность.

б)  По­сколь­ку ∠KLM  =  120°, ∠KOM  =  60°. Тогда от­сю­да по­лу­ча­ем:

За­ме­тим, что тре­уголь­ник KOM рав­но­сто­рон­ний, сле­до­ва­тель­но, По тео­ре­ме си­ну­сов по­лу­ча­ем:

Ответ: б) 6.

Ре­ше­ние. Решим за­да­чу графо-ана­ли­ти­че­ским ме­то­дом. В си­сте­ме ко­ор­ди­нат xOy гра­фи­ком пер­во­го урав­не­ния си­сте­мы яв­ля­ют­ся от­рез­ки, яв­ля­ю­щи­е­ся сто­ро­на­ми ромба с вер­ши­на­ми в точ­ках и Гра­фи­ком вто­ро­го урав­не­ния си­сте­мы яв­ля­ет­ся пучок пря­мых про­хо­дя­щих через точку

Тогда при си­сте­ма не имеет ре­ше­ний, при си­сте­ма имеет одно ре­ше­ние, при си­сте­ма имеет два ре­ше­ния, си­сте­ма имеет одно ре­ше­ние, при си­сте­ма не имеет ре­ше­ний.

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Пе­ре­пи­шем усло­вие в виде

Пусть a + c  =  15 (на­при­мер, a  =  9 и c  =  6) и b  =  4, тогда ра­вен­ство вы­пол­не­но. Итак, под­хо­дит при­мер 946 + 649  =  1595.

б)  По­сколь­ку крат­но 5, то и крат­но 5, а тогда и крат­но 5. Зна­чит, c  =  5 или c  =  0 (это не­воз­мож­но, число не может на­чи­нать­ся с нуля. Те­перь можно за­пи­сать усло­вие в виде

от­ку­да 295a − 20b  =  2485. Раз­де­лив на 5, по­лу­чим 59a − 4b  =  497. При a ⩽ 8 имеем 59a − 4b ⩽ 59 · 8  =  472, зна­чит, a  =  9. Тогда 59 · 9 − 4b  =  497 или 4b  =  34, что не­воз­мож­но.

в)  Имеем:

Если c  =  6, то

Если b  =  6, то

Если a  =  6, то

По­сколь­ку самым вы­год­ным будет вто­рой ва­ри­ант, в ко­то­ром b  =  6, c  =  1, a  =  9. Тогда

Ответ: а)  да; б)  нет; в)