Пусть сумма средств, о ко­то­рых идет речь, равна S у. е. Наи­мень­шая при­быль, ко­то­рую банку могут при­не­сти оба про­ек­та, равна

Банк по­лу­чит наи­мень­шую чи­стую при­быль 0,1S, если он вы­пла­тит своим кли­ен­там про­цен­ты по выс­шей став­ке. Пусть она равна a%, тогда:

Наи­боль­шая при­быль, ко­то­рую банку могут при­не­сти оба про­ек­та равна

Банк по­лу­чит наи­боль­шую чи­стую при­быль 0,15S, если он вы­пла­тит кли­ен­там про­цен­ты по низ­шей став­ке. Пусть она равна b%, тогда

Зна­чит, и наи­мень­ший, и наи­боль­ший воз­мож­ные уров­ни про­цент­ной став­ки равны и со­став­ля­ют 15%. То есть при став­ке 15% банк по­лу­чит от 10 до 15 про­цен­тов чи­стой при­бы­ли.

Ответ: 15%.

При­ме­ча­ние.

Эта за­да­ча, взя­тая нами из ва­ри­ан­та А. Ла­ри­на № 366, впер­вые была пред­ло­же­на на всту­пи­тель­ном эк­за­ме­не по ма­те­ма­ти­ке для по­сту­па­ю­щих на от­де­ле­ние ме­недж­мен­та эко­но­ми­че­ско­го фа­куль­те­та МГУ им. М. В. Ло­мо­но­со­ва в июле 1997 года и позже ци­ти­ро­ва­лась в ме­то­ди­че­ских пуб­ли­ка­ци­ях для аби­ту­ри­ен­тов и учи­те­лей. См., на­при­мер, Сер­ге­ев И. Н., Мель­ни­ков И. И., Олех­ник С. Н. Ма­те­ма­ти­ка. За­да­чи всту­пи­тель­ных эк­за­ме­нов с от­ве­та­ми и ре­ше­ни­я­ми (1993−1997 гг.) на стр. 72, или жур­нал Ма­те­ма­ти­ка в школе № 2 за 1998 год. В по­след­ней пуб­ли­ка­ции при­ве­де­но ре­ше­ние, да­ю­щее дру­гой ответ: наи­мень­ший воз­мож­ный уро­вень про­цент­ной став­ки со­став­ля­ет 10%, а наи­боль­ший  — 20%. При­во­дим его ниже (в ре­ше­нии опе­чат­ка: два­жды ука­за­но p_x, вто­рой раз долж­но быть p_y).

Ре­ше­ние, по сути, со­сто­ит в по­сле­до­ва­тель­ном по­лу­че­нии сле­ду­ю­щих оце­нок:

а это озна­ча­ет, что

Дей­ствия с не­ра­вен­ства­ми вы­пол­не­ны верно. Но по­че­му же от­ли­ча­ет­ся ответ?

Дело в по­стро­е­нии ма­те­ма­ти­че­ской мо­де­ли  — в пе­ре­во­де усло­вия с рус­ско­го на язык ма­те­ма­ти­че­ских со­от­но­ше­ний. В пер­вом ре­ше­нии фраза «Опре­де­лить наи­мень­ший и наи­боль­ший воз­мож­ные уров­ни про­цент­ной став­ки, при ко­то­рых чи­стая при­быль банка со­ста­вит не менее 10% и не более 15% го­до­вых» по­ни­ма­ет­ся сле­ду­ю­щим об­ра­зом: не­об­хо­ди­мо опре­де­лить уро­вень про­цент­ной став­ки, при ко­то­ром чи­стая при­быль банка НЕ ВЫЙ­ДЕТ ЗА ПРЕ­ДЕ­ЛЫ от 10% до 15%.

Вто­рое ре­ше­ние со­от­вет­ству­ет та­ко­му усло­вию: «Из­вест­но, что чи­стая при­быль банка со­ста­ви­ла от 10% до 15%, какой при этом могла быть про­цент­ная став­ка?». Дру­ги­ми сло­ва­ми, ав­то­ра­ми рас­смат­ри­ва­ет­ся во­прос о том, при каком зна­че­нии про­цент­ной став­ки чи­стая при­быль МОЖЕТ ОКА­ЗАТЬ­СЯ В ПРЕ­ДЕ­ЛАХ от 10% до 15% (но может и выйти за эти пре­де­лы).

Раз­ли­чие между двумя при­ве­ден­ны­ми во­про­са­ми ил­лю­стри­ру­ет при­ве­ден­ная спра­ва схема: если от­ло­жен­ная на вер­ти­каль­ной оси про­цент­ная став­ка для кли­ен­тов К лежит от 10 до 20 про­цен­тов, то при­быль банка Б может ока­зать­ся ока­зать­ся от 10 до 15 про­цен­тов, но может быть и 5%, и 20%. (Ана­ло­гич­но из усло­вия х  =  2, сле­ду­ет, что x > 0, но об­рат­ное не­вер­но.) Так и здесь: если 0,1 < Б < 0,15, то 0,10 < К < 0,20, но об­рат­ное не­вер­но. Дей­стви­тель­но, если 0,10 < К < 0,20, то 0,05 < Б < 0,20, а по­след­нее вклю­ча­ет в себя зна­че­ния 0,10 < Б < 0,15, но со­дер­жит и иные зна­че­ния.

По­вто­рим ска­зан­ное дру­ги­ми сло­ва­ми: в пер­вом ре­ше­нии мы ищем все такие K, чтобы для каж­до­го из них было верно не­ра­вен­ство 0,10 < Б < 0,15. Во вто­ром ре­ше­нии ав­то­ры ищут все такие К, ко­то­рые воз­мож­ны при 0,10 < Б < 0,15. На этот во­прос ав­то­ры от­ве­ча­ют верно. Но это дру­гая за­да­ча.