Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 564907
i

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

5x плюс дробь: чис­ли­тель: 18, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x в квад­ра­те плюс 36 конец ар­гу­мен­та конец дроби =a ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x в квад­ра­те плюс 36 конец ар­гу­мен­та

имеет хотя бы один ко­рень.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

За­ме­тим, что об­ласть до­пу­сти­мых зна­че­ний урав­не­ния вклю­ча­ет все дей­стви­тель­ные зна­че­ния x. Тогда можно по­ло­жить x=6 тан­генс альфа , где минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше альфа мень­ше дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , от­ку­да

ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x в квад­ра­те плюс 36 конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 36 тан­генс в квад­ра­те альфа плюс 36 конец ар­гу­мен­та =6 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: тан­генс в квад­ра­те альфа плюс 1 конец ар­гу­мен­та = дробь: чис­ли­тель: 6, зна­ме­на­тель: ко­си­нус альфа конец дроби .

Вве­ден­ной за­ме­ной ис­ход­ное ир­ра­ци­о­наль­ное урав­не­ние пре­об­ра­зо­ва­но к три­го­но­мет­ри­че­ско­му урав­не­нию. Решим его:

30 тан­генс альфа плюс дробь: чис­ли­тель: 18 ко­си­нус альфа , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 6a, зна­ме­на­тель: ко­си­нус альфа конец дроби \underset минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше альфа мень­ше дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби \mathop рав­но­силь­но 10 синус альфа плюс ко­си­нус в квад­ра­те альфа =2a рав­но­силь­но синус в квад­ра­те альфа минус 10 синус альфа =1 минус 2a рав­но­силь­но

синус в квад­ра­те альфа минус 10 синус альфа плюс 25=1 минус 2a плюс 25 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка синус альфа минус 5 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те =26 минус 2a.

Оце­ним левую часть по­след­не­го не­ра­вен­ства, учи­ты­вая, что минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше альфа мень­ше дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби :

минус 1 мень­ше синус альфа мень­ше 1 рав­но­силь­но минус 6 мень­ше синус альфа минус 5 мень­ше минус 4 рав­но­силь­но 36 боль­ше левая круг­лая скоб­ка синус альфа минус 5 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те боль­ше 16.

Зна­чит, урав­не­ние имеет хотя бы одно ре­ше­ние при

16 мень­ше 26 минус 2a мень­ше 36 рав­но­силь­но минус 10 мень­ше минус 2a мень­ше 10 рав­но­силь­но минус 5 мень­ше a мень­ше 5.

Ответ: левая круг­лая скоб­ка минус 5; 5 пра­вая круг­лая скоб­ка .

 

При­ме­ча­ние.

Пыт­ли­во­му чи­та­те­лю, за­ин­те­ре­со­вав­ше­му­ся из­ло­жен­ным ме­то­дом ре­ше­ния, можно ре­ко­мен­до­вать по­ис­кать ин­фор­ма­цию о три­го­но­мет­ри­че­ских за­ме­нах при ре­ше­нии ир­ра­ци­о­наль­ных урав­не­ний.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен пра­виль­ный ответ.4
С по­мо­щью вер­но­го рас­суж­де­ния по­лу­чен ответ, но в ре­ше­нии до­пу­ще­на вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка или оно не­до­ста­точ­но обос­но­ва­но.3
С по­мо­щью вер­но­го рас­суж­де­ния по­лу­чен ответ, но в ходе ре­ше­ния до­пу­ще­на одна ошиб­ка, от­лич­ная от вы­чис­ли­тель­ной.2
По­лу­че­ны не­ко­то­рые вер­ные зна­че­ния па­ра­мет­ра, од­на­ко ре­ше­ние со­дер­жит более одной ошиб­ки.1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 359
Классификатор алгебры: Урав­не­ния с па­ра­мет­ром
Методы алгебры: Вы­де­ле­ние пол­но­го квад­ра­та, Ис­поль­зо­ва­ние ос­нов­но­го три­го­но­мет­ри­че­ско­го тож­де­ства и след­ствий из него
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2026