На диагонали параллелограмма взяли точку, отличную от её середины. Из неё на все стороны параллелограмма (или их продолжения) опустили перпендикуляры.
а) Докажите, что четырёхугольник, образованный основаниями этих перпендикуляров, является трапецией.
б) Найдите площадь полученной трапеции, если площадь параллелограмма равна 16, а один из его углов равен 60°.
а) Рассмотрим параллелограмм ABCD и точку N на диагонали AC. Опустим из нее перпендикуляры на стороны параллелограмма так, как показано на рисунке. Заметим теперь, что четырехугольники NPCR и NSAQ вписанные, поскольку в них есть по два противоположных прямых угла. Тогда по свойству вписанного угла получаем, что 
и 
Но углы PCN и NAQ равны из параллельности прямых BС и AD. Значит, равны и углы PRN и NSQ, а значит, прямые PR параллельны SQ. Заметим, что точка N отлична от середины диагонали, следовательно, NP не равно NQ. Следовательно, в четырехугольнике SPRQ две стороны параллельны, но при этом он не является параллелограммом, поскольку его диагонали не делятся точкой пересечения пополам, значит, он является трапецией. Что и требовалось доказать.
б) Диагонали трапеции соответственно перпендикулярны сторонам параллелограмма, поэтому острый угол между ними равен острому углу параллелограмма, то есть 60°. Площадь параллелограмма равна 
Площадь трапеции равна
Ответ: 6.