ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 19 № 562497 Добавить в вариант

Известно, что квадратное уравнение x² + px + q  =  0 имеет два различных натуральных корня.

а)  Найдите все возможные значения p, если q  =  26.

б)  Найдите все возможные значения q, если q + p  =  72.

в)  Найдите все возможные значения корней уравнения, если q² − p²  =  2812.

Спрятать решение

Решение.

а)  По теореме Виета произведение этих корней равно 26, поэтому сами они равны 13 и 2 или 26 и 1. При этом $p= минус x_1 минус x_2,$ откуда p  =  −15 или p  =  −27.

б)  Получаем уравнение $минус x_1 минус x_2 плюс x_1x_2=72,$ откуда $1 минус x_1 минус x_2 плюс x_1x_2=73,$ $левая круглая скобка x_1 минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x_2 минус 1 правая круглая скобка =73,$ значит, $x_1 минус 1=1$ и $x_2 минус 1=73$ или наоборот. В любом случае $q=x_1x_2=2 умножить на 74=148.$

в)  Заметим, что

$q в квадрате минус p в квадрате = левая круглая скобка q минус p правая круглая скобка левая круглая скобка q плюс p правая круглая скобка = левая круглая скобка x_1x_2 плюс x_1 плюс x_2 правая круглая скобка левая круглая скобка x_1x_2 минус x_1 минус x_2 правая круглая скобка =2812=4 умножить на 703=4 умножить на 19 умножить на 37.$ $q в квадрате минус p в квадрате = левая круглая скобка q минус p правая круглая скобка левая круглая скобка q плюс p правая круглая скобка = левая круглая скобка x_1x_2 плюс x_1 плюс x_2 правая круглая скобка левая круглая скобка x_1x_2 минус x_1 минус x_2 правая круглая скобка =$
$=2812=4 умножить на 703=4 умножить на 19 умножить на 37.$ $q в квадрате минус p в квадрате = левая круглая скобка q минус p правая круглая скобка левая круглая скобка q плюс p правая круглая скобка =$
$= левая круглая скобка x_1x_2 плюс x_1 плюс x_2 правая круглая скобка левая круглая скобка x_1x_2 минус x_1 минус x_2 правая круглая скобка =$
$=2812=4 умножить на 703=4 умножить на 19 умножить на 37.$

Числа $q минус p$ и $q плюс p$ отличаются друг от друга на чётное число, поэтому они одной чётности, поэтому каждое из них делится на 2 и не делится на 4. Кроме того, $q минус p больше q плюс p,$ поэтому остаются такие варианты:

а)   $x_1x_2 плюс x_1 плюс x_2=1406$ и $x_1x_2 минус x_1 минус x_2=2;$

б)   $x_1x_2 плюс x_1 плюс x_2=74$ и $x_1x_2 минус x_1 минус x_2=38.$

Рассмотрим первый случай: $левая круглая скобка x_1 плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x_2 плюс 1 правая круглая скобка =1407,$ $левая круглая скобка x_1 минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x_2 минус 1 правая круглая скобка =3.$ Натуральными решениями второго уравнения являются пары чисел (4; 2) или (2; 4), которые не являются решениями первого уравнения. Поэтому этот случай не приводит к решениям.

Рассмотрим второй случай: $левая круглая скобка x_1 плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x_2 плюс 1 правая круглая скобка =75,$ $левая круглая скобка x_1 минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x_2 минус 1 правая круглая скобка =39.$ Всевозможные натуральные решения второго уравнения это (40; 2), (14; 4), (4; 14), (2; 40). Первому уравнению удовлетворяют только пары (14; 4) и (4; 14).

Ответ: а) −27 или −15; б) 148; в) 4 и 14.

----------

Частично дублирует задание 526680 из основной волны ЕГЭ 2019 года.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены результаты пунктов а, б, в.	4
Верно получены результаты пунктов (а или б) и в.	3
Верно получены результаты пунктов (а и б) или в	2
Верно получены результаты пунктов а или б.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Аналоги к заданию № 526680: 526701 562497 Все

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 352

Классификатор алгебры: Числа и их свойства

Спрятать решение · Прототип задания · Спрятать критерии · Видеокурс · Помощь