Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 19 № 562497

Известно, что квадратное уравнение x2 + px + q = 0 имеет два различных натуральных корня.

а) Найдите все возможные значения p, если q = 26.

б) Найдите все возможные значения q, если q + p = 72.

в) Найдите все возможные значения корней уравнения, если q2 − p2 = 2812.

Спрятать решение

Решение.

а) По теореме Виета произведение этих корней равно 26, поэтому сами они равны 13 и 2 или 26 и 1. При этом p= минус x_1 минус x_2, откуда p = −15 или p = −27.

б) Получаем уравнение  минус x_1 минус x_2 плюс x_1x_2=72, откуда 1 минус x_1 минус x_2 плюс x_1x_2=73, (x_1 минус 1)(x_2 минус 1)=73, значит, x_1 минус 1=1 и x_2 минус 1=73 или наоборот. В любом случае q=x_1x_2=2 умножить на 74=148.

в) Заметим, что

q в степени 2 минус p в степени 2 =(q минус p)(q плюс p)=(x_1x_2 плюс x_1 плюс x_2)(x_1x_2 минус x_1 минус x_2)=2812=4 умножить на 703=4 умножить на 19 умножить на 37.

Числа q минус p и q плюс p отличаются друг от друга на чётное число, поэтому они одной чётности, поэтому каждое из них делится на 2 и не делится на 4. Кроме того, q минус p больше q плюс p, поэтому остаются такие варианты:

а) x_1x_2 плюс x_1 плюс x_2=1406 и x_1x_2 минус x_1 минус x_2=2;

б) x_1x_2 плюс x_1 плюс x_2=74 и x_1x_2 минус x_1 минус x_2=38.

Рассмотрим первый случай: (x_1 плюс 1)(x_2 плюс 1)=1407, (x_1 минус 1)(x_2 минус 1)=3. Натуральными решениями второго уравнения являются пары чисел (4; 2) или (2; 4), которые не являются решениями первого уравнения. Поэтому этот случай не приводит к решениям.

Рассмотрим второй случай: (x_1 плюс 1)(x_2 плюс 1)=75, (x_1 минус 1)(x_2 минус 1)=39. Всевозможные натуральные решения второго уравнения это (40; 2), (14; 4), (4; 14), (2; 40). Первому уравнению удовлетворяют только пары (14; 4) и (4; 14).

 

Ответ: а) −27 или −15; б) 148; в) 4 и 14.

 

----------

Частично дублирует задание 526680 из основной волны ЕГЭ 2019 года.


Аналоги к заданию № 526680: 526701 562497 Все

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 352.