Ре­ше­ние. а)  Раз­де­лим обе части урав­не­ния на по­ло­жи­тель­ное вы­ра­же­ние и решим квад­рат­ное урав­не­ние:

б)  За­ме­тим, что и по­это­му на за­дан­ном про­ме­жут­ке лежат корни x  =  3 и x  =  4.

Ответ:a) {−2; −1; 3; 4}, б) {3; 4}.

Ре­ше­ние. а)  За­ме­тим, что AB яв­ля­ет­ся про­ек­ци­ей SB на плос­кость ABC, сле­до­ва­тель­но, по тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах, пря­мые SB и BC пер­пен­ди­ку­ляр­ны. Таким об­ра­зом, плос­кость SAB пер­пен­ди­ку­ляр­на BC и, сле­до­ва­тель­но, AM и BC пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Пре­об­ра­зу­ем со­от­но­ше­ния, дан­ные в усло­вии за­да­чи:

Сде­ла­ем за­ме­ну: тогда

Таким об­ра­зом,

Далее,

Сде­ла­ем за­ме­ну: тогда

Из усло­вия за­да­чи сле­ду­ет, что Вы­чис­лим:

Из тео­ре­мы об от­но­ше­нии объ­е­мов пи­ра­мид с общим крат­ным углом имеем:

Далее най­дем объем тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды MABC

Имеем:

Ответ: б)

Ре­ше­ние. Пре­об­ра­зу­ем не­ра­вен­ство, вос­поль­зо­вав­шись фор­му­лой

Рас­смот­рим два слу­чая рас­кры­тия мо­ду­ля. Если то

При пра­вая часть по­лу­чив­ше­го­ся не­ра­вен­ства от­ри­ца­тель­на, зна­чит, не­ра­вен­ство не имеет ре­ше­ний.

Если то

Усло­вию удо­вле­тво­ря­ет толь­ко

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  За­ме­тим, что по­это­му си­ну­сы углов AHB и ACB равны, а кроме того, угол AHB тупой, а углы ABH и BAH  — ост­рые. Тогда, по тео­ре­ме си­ну­сов,

Сле­до­ва­тель­но, ра­ди­у­сы окруж­но­стей, опи­сан­ных около тре­уголь­ни­ков AHB и ABC равны. Тогда

по­это­му

Зна­чит,

Ана­ло­гич­но,

Тогда по­лу­ча­ем, что

Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  Най­дем

По­это­му, по тео­ре­ме си­ну­сов,

Далее вы­чис­лим пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC

Ответ: б) 84.

При­ме­ча­ние Решу ЕГЭ.

Чи­та­тель, ре­шив­ший до­пол­ни­тель­но найти сто­ро­ну ВС, вос­поль­зу­ет­ся тео­ре­мой си­ну­сов и по­лу­чит

Сле­до­ва­тель­но, сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка ABC равны 10, 17 и 21. Но тре­уголь­ник с та­ки­ми сто­ро­на­ми ту­по­уголь­ный, а не ост­ро­уголь­ный, как дано в усло­вии. Опи­сан­ной в усло­вии гео­мет­ри­че­ской фи­гу­ры не су­ще­ству­ет. Ре­ше­ние, при­ве­ден­ное выше, не­вер­но, по­то­му что и ре­шить ни­че­го нель­зя. За­да­ние не­кор­рект­но.

Ре­ше­ние. В конце n-го года, сле­ду­ю­ще­го за годом по­куп­ки, сто­и­мость цен­ной бу­ма­ги будет со­став­лять  руб­лей. Чтобы на бан­ков­ском счете через 28 лет после года при­об­ре­те­ния была наи­боль­шая сумма, Ми­ха­ил дол­жен про­дать цен­ную бу­ма­гу и вло­жить день­ги в банк в тот мо­мент, когда бан­ков­ские на­чис­ле­ния ока­жут­ся боль­ше, чем еже­год­ное уве­ли­че­ние сто­и­мо­сти цен­ной бу­ма­ги, иными сло­ва­ми, если вы­пол­ня­ет­ся усло­вие

При усло­вие ока­жет­ся вы­пол­не­но. Зна­чит, Ми­ха­ил дол­жен про­дать цен­ную бу­ма­гу и вло­жить день­ги в банк в конце четвёртого года, сле­ду­ю­ще­го за годом по­куп­ки.

Ответ: 4.

Ре­ше­ние. Решим не­ра­вен­ство:

Число яв­ля­ет­ся ре­ше­ни­ем не­ра­вен­ства, если вы­пол­не­на со­во­куп­ность

Пре­об­ра­зу­ем вто­рое число:

Оце­ним по­лу­чен­ное вы­ра­же­ние. По­сколь­ку по­лу­ча­ем:

Зна­чит, если пер­вое число яв­ля­ет­ся ре­ше­ни­ем не­ра­вен­ства, то вто­рое число может яв­лять­ся его ре­ше­ни­ем, толь­ко если оно равно 9, при Таким об­ра­зом, оба числа яв­ля­ют­ся ре­ше­ни­ем не­ра­вен­ства, толь­ко если

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  За­ме­тим, что если за­пи­сать 0 на стра­ни­це 18, то ну­ме­ра­ция будет такой: −17, −16, ..., −1, 0, 1, ..., 16, 17, 18. Сумма этих чисел равна 18.

б)  Если сдви­нуть 0 на одну стра­ни­цу впе­ред или назад, то номер каж­дой из всех стра­ниц умень­шит­ся или уве­ли­чат­ся на 1 со­от­вет­ствен­но, а сумма но­ме­ров из­ме­нит­ся на 36. По­сколь­ку число 0 сле­ду­ет сдви­нуть на 17 стра­ниц назад, то есть за­пи­сать на пер­вой стра­ни­це.

в)  По­сколь­ку число 0 сле­ду­ет сдви­нуть на 12 стра­ниц назад, то есть за­пи­сать на ше­стой стра­ни­це.

Ответ: а) 18, б) 1 в) 6.