ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 13 № 555583 Добавить в вариант

а)  Решите уравнение $2 в степени левая круглая скобка 2x в квадрате правая круглая скобка минус левая круглая скобка 2 в кубе плюс 2 в степени 8 правая круглая скобка умножить на 2 в степени левая круглая скобка x в квадрате плюс 2x правая круглая скобка плюс 2 в степени левая круглая скобка 11 плюс 4x правая круглая скобка =0.$

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $левая круглая скобка 1 плюс логарифм по основанию 2 0,25; логарифм по основанию 2 16,1 правая квадратная скобка .$

Спрятать решение

Решение.

а)  Разделим обе части уравнения на положительное выражение $2 в степени левая круглая скобка 4x правая круглая скобка$ и решим квадратное уравнение:

$2 в степени левая круглая скобка 2x в квадрате правая круглая скобка минус левая круглая скобка 2 в кубе плюс 2 в степени 8 правая круглая скобка умножить на 2 в степени левая круглая скобка x в квадрате плюс 2x правая круглая скобка плюс 2 в степени левая круглая скобка 11 плюс 4x правая круглая скобка =0 равносильно 2 в степени левая круглая скобка 2x в квадрате минус 4x правая круглая скобка минус левая круглая скобка 2 в кубе плюс 2 в степени 8 правая круглая скобка умножить на 2 в степени левая круглая скобка x в квадрате минус 2x правая круглая скобка плюс 2 в степени левая круглая скобка 11 правая круглая скобка =0 равносильно$ $2 в степени левая круглая скобка 2x в квадрате правая круглая скобка минус левая круглая скобка 2 в кубе плюс 2 в степени 8 правая круглая скобка умножить на 2 в степени левая круглая скобка x в квадрате плюс 2x правая круглая скобка плюс 2 в степени левая круглая скобка 11 плюс 4x правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно 2 в степени левая круглая скобка 2x в квадрате минус 4x правая круглая скобка минус левая круглая скобка 2 в кубе плюс 2 в степени 8 правая круглая скобка умножить на 2 в степени левая круглая скобка x в квадрате минус 2x правая круглая скобка плюс 2 в степени левая круглая скобка 11 правая круглая скобка =0 равносильно$

$равносильно левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка x в квадрате минус 2x правая круглая скобка правая круглая скобка в квадрате минус левая круглая скобка 2 в кубе плюс 2 в степени 8 правая круглая скобка умножить на 2 в степени левая круглая скобка x в квадрате минус 2x правая круглая скобка плюс 2 в кубе умножить на 2 в степени 8 =0 равносильно совокупность выражений 2 в степени левая круглая скобка x в квадрате минус 2x правая круглая скобка = 2 в кубе ,2 в степени левая круглая скобка x в квадрате минус 2x правая круглая скобка = 2 в степени 8 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x в квадрате минус 2x минус 3 = 0,x в квадрате минус 2x минус 8 = 0 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x=3, x= минус 1, x=4, x= минус 2. конец совокупности .$ $равносильно левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка x в квадрате минус 2x правая круглая скобка правая круглая скобка в квадрате минус левая круглая скобка 2 в кубе плюс 2 в степени 8 правая круглая скобка умножить на 2 в степени левая круглая скобка x в квадрате минус 2x правая круглая скобка плюс 2 в кубе умножить на 2 в степени 8 =0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений 2 в степени левая круглая скобка x в квадрате минус 2x правая круглая скобка = 2 в кубе ,2 в степени левая круглая скобка x в квадрате минус 2x правая круглая скобка = 2 в степени 8 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x в квадрате минус 2x минус 3 = 0,x в квадрате минус 2x минус 8 = 0 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x=3, x= минус 1, x=4, x= минус 2. конец совокупности .$ $равносильно левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка x в квадрате минус 2x правая круглая скобка правая круглая скобка в квадрате минус левая круглая скобка 2 в кубе плюс 2 в степени 8 правая круглая скобка умножить на 2 в степени левая круглая скобка x в квадрате минус 2x правая круглая скобка плюс 2 в кубе умножить на 2 в степени 8 =0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений 2 в степени левая круглая скобка x в квадрате минус 2x правая круглая скобка = 2 в кубе ,2 в степени левая круглая скобка x в квадрате минус 2x правая круглая скобка = 2 в степени 8 конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений x в квадрате минус 2x минус 3 = 0,x в квадрате минус 2x минус 8 = 0 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x=3, x= минус 1, x=4, x= минус 2. конец совокупности .$

б)  Заметим, что $1 плюс логарифм по основанию 2 0,25 =1 минус 2= минус 1$ и $логарифм по основанию 2 16,1 больше логарифм по основанию 2 16 =4,$ поэтому на заданном промежутке лежат корни x  =  3 и x  =  4.

Ответ:a) {−2; −1; 3; 4}, б) {3; 4}.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 334. (часть C)

Классификатор алгебры: Показательно-степенные уравнения, Показательные уравнения, свойства степени, Сравнение чисел

Методы алгебры: Замена переменной, Сведение к однородному

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.6 Логарифмические уравнения

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь