Ре­ше­ние. а)  Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние:

б)  За­ме­тим, что

по­это­му в ука­зан­ный про­ме­жу­ток по­па­да­ет толь­ко ко­рень

Ответ: а) {−3; 3}; б) 3.

Ре­ше­ние. а)   Пусть точка D  — се­ре­ди­на AB, K  — точка пре­се­че­ния SD и EF, се­ре­ди­на SD, а L  — точка пе­ре­се­че­ния CK и SO. Тогда L  — точка пе­ре­се­че­ния SO с плос­ко­стью CEF. По тео­ре­ме Ме­не­лая для тре­уголь­ни­ка DSO и пря­мой CK имеем:

б)  За­ме­тим, что пря­мая ET па­рал­лель­на пря­мой AC, а пря­мая FT па­рал­лель­на пря­мой BC. Сле­до­ва­тель­но, плос­ко­сти EFT и ABC па­рал­лель­ны. Будем ис­кать ко­си­нус угла между плос­ко­стя­ми CEF и ABC. Плос­ко­сти CEF и EFT пе­ре­се­ка­ют­ся по пря­мой EF, па­рал­лель­ной AB, по­это­му пря­мая, по ко­то­рой пе­ре­се­ка­ют­ся плос­ко­сти CEF и ABC па­рал­лель­на AB. Так как пи­ра­ми­да пра­виль­ная, пря­мая CD пер­пен­ди­ку­ляр­на AB, а пря­мая CK пер­пен­ди­ку­ляр­на EF. Сле­до­ва­тель­но, нужно найти ко­си­нус угла KCD, рав­но­го углу LCO.

Вы­чис­лим:

от­ку­да а CO  =  6.

Тогда от­ку­да

Тем самым

Ответ: б)

Ре­ше­ние. Пре­об­ра­зу­ем не­ра­вен­ство:

За­ме­тим, что при левая часть не­ра­вен­ства не­от­ри­ца­тель­на, а пра­вая  — от­ри­ца­тель­на, зна­чит, не­ра­вен­ство не имеет ре­ше­ний. Тогда а зна­чит, По­лу­ча­ем:

Срав­ним числа и :

Зна­чит, тогда

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Пусть M  — се­ре­ди­на от­рез­ка O₁O₂. За­ме­тим, что CO₁ и CO₂  — бис­сек­три­сы внут­рен­не­го и внеш­не­го угла при вер­ши­не C. Зна­чит, Тогда по свой­ству ме­ди­ан пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка

б)  Пусть впи­сан­ная окруж­ность ка­са­ет­ся сто­ро­ны AB в точке K, внев­пи­сан­ная окруж­ность ка­са­ет­ся AB в точке N, а точка P  — се­ре­ди­на сто­ро­ны BC. Тогда

Сле­до­ва­тель­но,

Таким об­ра­зом,

Ответ: б) 1 : 2.

Ре­ше­ние. Пусть один из биз­не­сме­нов вло­жил в дело a млн руб., а вме­сте они вло­жи­ли b млн руб., тогда доля этого биз­не­сме­на равна Пусть этот биз­не­смен после до­пол­ни­тель­но вло­жил t млн руб., тогда его доля вы­рас­тет на

Тогда

Из­на­чаль­но доля этого биз­не­сме­на со­став­ля­ла После вне­се­ния пер­во­го до­пол­ни­тель­но­го мил­ли­о­на его доля со­ста­ви­ла после вне­се­ния вто­ро­го  — Пусть в тре­тий раз он внёс до­пол­ни­тель­но x млн руб. Для от­ве­та на во­прос за­да­чи решим урав­не­ние

Чтобы уве­ли­чить свою долю еще на 0,06, биз­не­сме­ну нужно ещё до­ба­вить 2 млн руб­лей.

Ответ: 2.

Ре­ше­ние. Воз­во­дим пер­вое урав­не­ние в квад­рат, на­хо­дим, что y  =  2x, под­ста­вим най­ден­ное зна­че­ние во вто­рое урав­не­ние, по­лу­чим

По­сколь­ку урав­не­ние y  =  2x уста­нав­ли­ва­ет вза­им­но од­но­знач­ное со­от­вет­ствие между пе­ре­мен­ны­ми, ко­ли­че­ство ре­ше­ний си­сте­мы равно ко­ли­че­ству кор­ней урав­не­ния (⁎).

Пусть За­ме­тим, что

зна­чит, Каж­до­му зна­че­нию со­от­вет­ству­ют два зна­че­ния пе­ре­мен­ной x, а зна­че­нию   — одно зна­че­ние пе­ре­мен­ной x. Тогда урав­не­ние (⁎) за­пи­сы­ва­ет­ся в виде

Усло­вие за­да­чи будет вы­пол­не­но, если будет вы­пол­не­но одно из усло­вий:

—  вто­рое урав­не­ние со­во­куп­но­сти не имеет ре­ше­ний;

—  корни обоих урав­не­ний со­во­куп­но­сти равны;

—  ко­рень вто­ро­го урав­не­ния со­во­куп­но­сти не боль­ше −8.

При урав­не­ние не имеет ре­ше­ний. Если то

Корни урав­не­ний со­во­куп­но­сти сов­па­да­ют, если

Ко­рень вто­ро­го урав­не­ния со­во­куп­но­сти не боль­ше −8, если

Объ­еди­няя все слу­чаи, по­лу­ча­ем, что ис­ход­ная си­сте­ма урав­не­ний имеет не более трех ре­ше­ний при или при

Ответ:

Ре­ше­ние. Пусть среди чисел было x троек (они про­па­дут после этих дей­ствий). Тогда сумма осталь­ных чисел была равна Все эти числа умень­ши­лись вдвое, по­это­му новая сумма со­став­ля­ет

а)  Да. Пусть были на­пи­са­ны числа 3, 3, 3, ..., 3 (27 раз), а также 33, 33, 33. После опи­сан­ных дей­ствий по­лу­чат­ся три числа по 16,5, по­это­му и сред­нее будет 16,5.

б)  Нужно, чтобы число ле­жа­ло в ин­тер­ва­ле (8; 9). Это дает не­ра­вен­ства от­ку­да и Зна­чит, и Это не­воз­мож­но при целых x.

в)  Нужно найти наи­боль­шее зна­че­ние Оче­вид­но, чем боль­ше x, тем мень­ше зна­ме­на­тель дроби, боль­ше сама дробь и боль­ше нуж­ное вы­ра­же­ние. При этом сумма всех чисел не пре­вос­хо­дит от­ку­да

Итак, мак­си­маль­ное x равно 27, и для него по­лу­ча­ем, что Со­от­вет­ству­ю­щий при­мер при­ве­ден в пунк­те а).

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  16,5.