В треугольной пирамиде SABC точка Е — середина ребра SA, точка F — середина ребра SB, О — точка пересечения медиан треугольника АВС.
а) Докажите, что плоскость CEF делит отрезок SO в отношении 3 : 2, считая от вершины S.
б) Найдите косинус угла между плоскостями CEF и EFT, если точка Т — середина SC, пирамида SABC правильная, площадь треугольника АВС равна 
а SB = 10.
а) Пусть точка D — середина AB, K — точка пресечения SD и EF, середина SD, а L — точка пересечения CK и SO. Тогда L — точка пересечения SO с плоскостью CEF. По теореме Менелая для треугольника DSO и прямой CK имеем:
б) Заметим, что прямая ET параллельна прямой AC, а прямая FT параллельна прямой BC. Следовательно, плоскости EFT и ABC параллельны. Будем искать косинус угла между плоскостями CEF и ABC. Плоскости CEF и EFT пересекаются по прямой EF, параллельной AB, поэтому прямая, по которой пересекаются плоскости CEF и ABC параллельна AB. Так как пирамида правильная, прямая CD перпендикулярна AB, а прямая CK перпендикулярна EF. Следовательно, нужно найти косинус угла KCD, равного углу LCO.
Вычислим:
откуда 
а CO = 6.
Тогда 
откуда
Тем самым 
Ответ: б) 