На окружности некоторым образом расставили натуральные числа от 4 до 30 (каждое число поставлено по одному разу). Затем для каждой пары соседних чисел нашли разность большего и меньшего.
а) Могли ли все полученные разности быть не меньше 14?
б) Могли ли все полученные разности быть не меньше 13?
в) Помимо полученных разностей, для каждой пары чисел, стоящих через одно, нашли разность большего и меньшего. Для какого наибольшего целого числа k можно так расставить числа, чтобы все разности были не меньше k?
а) Нет. Очевидно, что рядом с числом 17 нельзя поставить ни одно число.
б) Да, например, 4, 18, 5, 19, 6, 20, ..., 16, 30, 17.
в) Всего на окружности стоят 27 чисел. Разобьем всю окружность на 9 дуг по три числа на каждой, причем числа 4 и 13 (если они стоят близко) разделим на разные дуги. Рассмотрим числа 4, 5, 6, ..., 13. Их 10, поэтому какие-то два попали на одну дугу. Каждые два из них отличаются не больше чем на 8 (кроме пары 4 и 13, но она не попала на одну дугу) и либо стоят рядом, либо через одно. Итак, одна из разностей точно будет не больше 8. Если расставить числа в порядке 4, 13, 22, 5, 14, 23, ..., 12, 21, 30, то наименьшая разность составит 12 − 4 = 8.
Ответ: а) нет б) да в) 8.