Ре­ше­ние. а)  Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние:

б)  Отберём корни, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку при по­мо­щи еди­нич­ной три­го­но­мет­ри­че­ской окруж­но­сти. По­лу­ча­ем число

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние.

Се­че­ние (плос­кость α) про­хо­дит через точки M и N, при­чем MN  — сред­няя линия. Это озна­ча­ет, что от­ре­зок MN || AB сле­до­ва­тель­но, MN || (ABC). По усло­вию се­ку­щая плос­кость пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти ABC, сле­до­ва­тель­но, она пе­ре­се­ка­ет плос­кость ABC по уров­ню PQ, при­чем PQ || MN. Таким об­ра­зом, се­ку­щая плос­кость пред­став­ля­ет собой тра­пе­цию PMNQ. Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник SOE, где SO  — вы­со­та пра­виль­ной пи­ра­ми­ды. Точка O лежит на пе­ре­се­че­нии ме­ди­ан пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка (в ос­но­ва­нии пи­ра­ми­ды) и делит их в от­но­ше­нии 2 : 1, то есть

Точка K яв­ля­ет­ся се­ре­ди­ной от­рез­ка MN, при­чем KZ ⊥ CE, от­ку­да сле­ду­ет, что KZ || SO, сле­до­ва­тель­но, ZE  =  ZO. Так как то

Таким об­ра­зом, по­лу­ча­ем, что CZ : ZE  =  5 : 1.

б)  Най­дем пе­ри­метр тра­пе­ции MNPQ: P  =  MN + NQ + PQ + MP, где

Для вы­чис­ле­ния сто­рон MP  =  NQ, най­дем вы­со­ту

Катет NH  =  KZ  =  1, а катет HQ равен

По­лу­ча­ем зна­че­ние пе­ри­мет­ра

Ответ:

----------

Дуб­ли­ру­ет за­да­ние 513096.

При­ме­ча­ние.

Срав­ни­те это за­да­ние с за­да­ни­ем из ва­ри­ан­та Алек­сандра Ла­ри­на с за­да­ни­ем Ос­нов­ной волны ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке 04.06.2015 513096.

Ре­ше­ние. Пре­об­ра­зу­ем не­ра­вен­ство и вос­поль­зу­ем­ся ме­то­дом ра­ци­о­на­ли­за­ции:

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Пусть AB и CQ пе­ре­се­ка­ют­ся в точке T. Тре­уголь­ник AOB  — рав­но­бед­рен­ный. Тре­уголь­ник ATO также рав­но­бед­рен­ный, так как CT  — се­ре­дин­ный пер­пен­ди­ку­ляр к AO. Тогда По­это­му точки B, O, T, C лежат на одной окруж­но­сти.

б)  Тре­уголь­ник QCO  — рав­но­бед­рен­ный, по­это­му

от­ку­да По усло­вию, QO  =  8 и OB  =  6. Зна­чит, тогда QB  =  10.

Ответ: б) 10.

Ре­ше­ние. Пер­во­на­чаль­ная сумма кре­ди­та равна

Пе­ре­пла­та по кре­ди­ту пред­став­ля­ет собой сумму еже­ме­сяч­но на­чис­ля­е­мых про­цен­тов:

Из ра­вен­ства по­лу­ча­ем

Ответ: 2.

Ре­ше­ние. Если для ка­ко­го-то зна­че­ния х ра­вен­ство вы­пол­не­но при любом зна­че­нии па­ра­мет­ра, оно вы­пол­не­но и для Най­дем все х, со­от­вет­ству­ю­щие затем вы­бе­рем из них те, для ко­то­рых ис­ход­ное ра­вен­ство верно и для всех осталь­ных зна­че­ния па­ра­мет­ра. Имеем:

Таким об­ра­зом, ис­ко­мые зна­че­ния x со­дер­жат­ся среди двух най­ден­ных, для дру­гих x ис­ход­ное ра­вен­ство не будет вы­пол­не­но при а зна­чит, не будет вы­пол­нять­ся при любом зна­че­нии па­ра­мет­ра a. Под­ста­вим най­ден­ные х в ис­ход­ное вы­ра­же­ние.

При по­лу­чим что при любом a эк­ви­ва­лент­но ра­вен­ству 0  =  0, то есть яв­ля­ет­ся вер­ным ра­вен­ством для лю­бо­го зна­че­ния па­ра­мет­ра.

При ис­ход­ное ра­вен­ство при­ни­ма­ет вид

и яв­ля­ет­ся вер­ным лишь при

Зна­чит, ис­ход­ное ра­вен­ство вы­пол­ня­ет­ся при любом зна­че­нии па­ра­мет­ра a, толь­ко если

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Под­хо­дит, на­при­мер, 49, ко­то­рое можно пре­вра­тить в 16.

б)  Пе­ре­бе­рем все дву­знач­ные квад­ра­ты: 16, 25, 36, 49, 64, 81. Оче­вид­но, что при опи­сан­ных дей­стви­ях со­хра­ня­ют­ся раз­но­сти между циф­ра­ми. Вы­чис­лим их: От­сю­да ясно, что 36 можно пре­вра­тить в 25, а 49 в 16, и дру­гих ва­ри­ан­тов нет.

в)  Пусть у числа умень­ша­ют каж­дую цифру на a и по­лу­ча­ют Тогда имеем:

Зна­чит, один из мно­жи­те­лей левой части кра­тен 101. По­сколь­ку x и y дву­знач­ные числа (их квад­ра­ты че­ты­рех­знач­ны), то един­ствен­ная воз­мож­ность  — слу­чай, когда От­сю­да сле­ду­ет, что x и y  — числа раз­ной чет­но­сти и раз­ность   — не­чет­ное число. По­это­му a  — тоже не­чет­но. Раз­бе­рем ва­ри­ан­ты:

от­ку­да

и усло­вие вы­пол­не­но.

от­ку­да

и усло­вие вы­пол­не­но.

от­ку­да

и усло­вие не вы­пол­не­но.

При уве­ли­че­нии a будет умень­шать­ся по­это­му про­чие ва­ри­ан­ты не­воз­мож­ны.

Ответ: а) 49; б) 36,49; в) 3136 и 4489.