PDF-версии: 
а) Решите уравнение 
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
Решение. Уравнение имеет корни, только если 
При этом условии обе части уравнения неотрицательны и можно возвести их в квадрат. Выполним преобразования:
Разделим второе уравнение совокупности на 
получим 
это уравнение не имеет решений. Умножим обе части первого уравнения на −1 и воспользуемся формулами двойного угла. Получим:
Из найденных серий условию 
удовлетворяют только 
и 
Отберем корни при помощи тригонометрической окружности (см. рис.), получим числа 
и 
Ответ: а) 
б) и
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б). | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
б) и б) и 
следовательно, 
Теперь вычислим 
следовательно, QB = 4PB и 
и 
Таким образом, 
AE = 8. 
Следовательно, DE = 18.
Значит:
(*)
тем больше, чем больше значение y. Решим задачу перебором. Для каждого значения x найдём наибольшее возможное значение y, при котором верна система (*), а также значение выражения 
(см. рис., целочисленные решения системы изображены цветными точками). 
На ОДЗ преобразуем второе уравнение системы: 
(см. рис., выделено синим, зеленым, красным). Графиком второго уравнения системы является правая ветвь гиперболы 
с выколотыми точками 
и 
(на рисунке изображено оранжевым цветом). В зависимости от значения параметра a прямая и гипербола могут не иметь общих точек или иметь одну или две общие точки. 
прямая 
изображенная на на рисунке зелёным цветом, проходит через выколотые точки гиперболы: точки 
При 
прямая 
где 
— значение параметра, при котором прямая касается гиперболы (на рисунке изображено синим цветом).
этого уравнения равен нулю. Тогда 
или 
система имеет два решения, а при 
или 
— одно решение.
то 
Это невозможно, поскольку левая часть кратна 10, а правая нет.
то 
Это невозможно, поскольку левая часть кратна трем, а правая нет. Аналогично при 
получим 
что также невозможно по той же причине. Если же 
и 
то условия выполнены. Тем самым наименьшее количество путевок второго типа равно двум.
число x кратно 20. Но при замене 20 путевок по 15 суток отдыха на 7 путевок по 45 суток отдыха длительность отдыха увеличивается, а стоимость не меняется. Будем делать такие замены, пока путевки на 15 суток отдыха не кончатся. Аналогично можно заменять три путевки по 27 суток на две путевки по 45 суток. Следовательно, в оптимальном примере нет путевок первого типа, а путевок второго типа не больше двух. Из пункта б) следует, что минимум две путевки второго типа должны быть в оптимальном наборе. Значит, пример, приведенный в пункте б) и есть оптимальный.