PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
Бегун пробежал 50 м за 5 секунд. Найдите среднюю скорость бегуна на дистанции. Ответ дайте в километрах в час.
Решение. Средняя скорость бегуна 50 : 5 = 10 м/с. Переведем метры в секунду в километры в час:
1 м/с = 60 м/мин = 3600 м/ч = 3,6 км/ч.
Поэтому 10 м/с = 10 · 3,6 = 36 км/ч.
Ответ: 36.
Маша коллекционирует принцесс из Киндер-сюрпризов. Всего в коллекции 10 разных принцесс, и они равномерно распределены, то есть в каждом очередном Киндер-сюрпризе может с равными вероятностями оказаться любая из
Решение. Заметим, что вероятность получения новой принцессы равна 
а вероятность противоположного события — получение старой принцессы — 
Вероятность того, что для получения следующей принцессы Маше придётся купить 
Вероятность того, что для получения следующей принцессы Маше придётся купить 
Таким образом, искомая вероятность — 0,16 + 0,032 = 0,192.
Ответ: 0,192.
Найдите тангенс угла AOB. Сторона одной клетки равна 1.
Решение. Достроим угол до треугольника
Из рисунка находим: 
Воспользуемся теоремой косинусов:
Тогда:
Поэтому угол 
равен 135°, а его тангенс равен −1.
Ответ: −1.
Приведём другое решение.
Пусть 
тогда 
и, следовательно,
Приведём другое решение.
Отложим на продолжении прямой BO за точку O отрезок 
и проведём отрезок 
Заметим, что 
Поэтому треугольник OKA — прямоугольный равнобедренный, углы при его основании равны 
а тогда 
и 
При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,4, а при каждом последующем — 0,6. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была
В ответе укажите наименьшее необходимое количество выстрелов.
Решение. Найдем вероятность противоположного события, состоящего в том, что цель не будет уничтожена за 
Осталось найти наименьшее натуральное решение неравенства
Последовательно проверяя значения n, равные 1, 2, 3 и т. д., находим, что искомым решением является 
Следовательно, необходимо сделать
Ответ: 5.
Примечание.
Можно решать задачу «по действиям», вычисляя вероятность уцелеть после ряда последовательных промахов.
Р(1) = 0,6.
Р(2) = Р(1)·0,4 = 0,24.
Р(3) = Р(2)·0,4 = 0,096.
Р(4) = Р(3)·0,4 = 0,0384.
Р(5) = Р(4)·0,4 = 0,01536.
Последняя вероятность меньше 0,02, поэтому достаточно пяти выстрелов по мишени.
Приведем другое решение.
Вероятность поразить мишень равна сумме вероятностей поразить ее при первом, втором, третьем и т. д. выстрелах. Поэтому задача сводится к нахождению наименьшего натурального решения неравенства
В нашем случае неравенство решается подбором, в общем случае понадобится формула суммы геометрической прогрессии, использование которой сведет задачу к простейшему логарифмическому неравенству.
Найдите корни уравнения: 
В ответ запишите наибольший отрицательный корень.
Решение. Последовательно получаем:
Значениям 
соответствуют положительные корни.
Если 
то 
и 
Если 
то 
и 
Значениям 
соответствуют меньшие значения корней.
Следовательно, наибольшим отрицательным корнем является число −4.
Ответ: −4.
В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH — высота, AB = 13,
Найдите AH.
Решение. Имеем:
Ответ: 12,5.
Приведем решение без использования тригонометрии (Мария Казначеева).
Из треугольника ACH найдем 
значит, 
откуда 
По свойству прямоугольного треугольника 
Пусть 
тогда 
следовательно,
откуда 
что не подходит, или
Приведем еще одно решение (Камиль Исламов).
Заметим, что угол CAH равен углу BCH. Пусть тогда 
Из треугольника ACH имеем 
Из треугольника BCH имеем 
Приравнивая получившиеся выражения для CH, получим
Прямая 
параллельна касательной к графику функции 
Найдите абсциссу точки касания.
Решение. Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Поскольку касательная параллельна прямой 
их угловые коэффициенты равны. Поэтому абсцисса точки касания находится из уравнения 
:
Ответ: 0,5.
Объем параллелепипеда
равен 4,5. Найдите объем треугольной пирамиды 
Решение. Искомый объем равен разности объемов параллелепипеда и четырех пирамид, основания которых являются гранями данной треугольной пирамиды. Объём каждой из этих пирамид равен одной трети произведения площади основания на высоту, а площадь основания вдвое меньше площади основания параллелепипеда:
Ответ: 1,5.
Найдите 
если 
при 
Решение. Выполним преобразования:
Ответ: 0.
При температуре 
рельс имеет длину 
м. При возрастании температуры происходит тепловое расширение рельса, и его длина, выраженная в метрах, меняется по закону 
где 
— коэффициент теплового расширения, 
— температура (в градусах Цельсия). При какой температуре рельс удлинится на 3 мм? Ответ выразите в градусах Цельсия.
Решение. Задача сводится к решению уравнения 
мм при заданных значениях длины 
м и коэффициента теплового расширения 
:
Ответ: 25.
Первый велосипедист выехал из поселка по шоссе со скоростью 15 км/ч. Через час после него со скоростью 10 км/ч из того же поселка в том же направлении выехал второй велосипедист, а еще через час после этого — третий. Найдите скорость третьего велосипедиста, если сначала он догнал второго, а через 2 часа 20 минут после этого догнал первого. Ответ дайте в км/ч.
Решение. Пусть 
км/ч
А через 2 часа 20 минут после этого третий велосипедист догнал первого. Таким образом,
Таким образом, 
Ответ: 25.
Приведем другое решение.
Примем за 
км/ч,
км/ч.
часа.
часа.
При условии 
избавляясь от знаменателей, получаем:
Найдем дискриминант:
Следовательно, 
Меньший корень 
меньше 15, а потому не подходит. Больший корень, равный 25, подходит. Скорость третьего велосипедиста равна 25 км/ч.
Найдите наименьшее значение функции 
на отрезке 
Решение. Найдем производную заданной функции:
Найдем нули производной:
Отметим на рисунке нули производной и поведение функции на заданном отрезке:
Следовательно, наименьшим значением функции на заданном отрезке является ее значение в точке минимума. Найдем его:
Ответ: −6.
а) Решите уравнение 
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
Решение. а) Преобразуем уравнение:
б) Ограничим каждое полученное решение из пункта «а» и решим эти неравенства:
1)
2)
3)
Ответ: а) 
б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б). | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
б) б) Основанием прямой треугольной призмы ABCA1B1C1 является прямоугольный треугольник ABC с прямым
а) Докажите, что прямые CA1 и AB1 перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между прямыми CA1 и AB1, если AC = 4, BC = 7.
Решение. а) Заметим, что B1C1 ⊥ C1A1 как катеты прямоугольного треугольника и B1C1 ⊥ C1C, поскольку призма прямая. Тогда по признаку перпендикулярности прямой и плоскости
Кроме того, 
как диагонали квадрата. Далее, AB1 — наклонная, AC1 — ее проекция на плоскость ACA1, 
— прямая в плоскости 
перпендикулярная проекции. По теореме о трёх перпендикулярах 
что и требовалось доказать.
б) Пусть точка M — середина AC1. Тогда искомое расстояние равно расстоянию от точки M до прямой AB1, поскольку прямая A1C перпендикулярна плоскости AB1C1. Это расстояние равно половине высоты прямоугольного треугольника AB1C1, проведённой к гипотенузе, то есть
Ответ: б) 
Приведем решение Александра Турбанова (Липецк).
Введем прямоугольную систему координат с началом в
Скалярное произведение векторов CA1 и AB1 равно
следовательно, прямые
б) Поскольку a = AC = 4 и b = BC = 7, имеем:
Рассмотрим плоскость α, проходящую через AB1 и параллельную A1C. Вектор 
параллелен плоскости α, а значит, перпендикулярен нормали к ней. Пусть вектор нормали имеет координаты 
тогда 
откуда 
Подставим координаты точек 
получим систему уравнений:
Находим уравнение плоскости α:
Расстояние между прямыми
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Решите неравенство:
Решение. Заменим 
на 
перенесем полученное выражение в правую часть и применим на области определения формулу суммы логарифмов. Получим:
Тогда исходное уравнение равносильно системам:
Ответ:
Примечание.
Выше мы воспользовались тем, что число, большее положительного, положительно:
Запомним этот прием, он позволяет уменьшать количество неравенств в системах без потери равносильности.
Примечание Александра Иванова (Санкт-Петербург).
Читатель, много решавший логарифмические уравнения и неравенства, знает, что если при решении уравнений или неравенств используется формула суммы логарифмов, то для обеспечения равносильности достаточно записать условие на аргумент лишь одного из складываемых логарифмов. Например, справедлива равносильность
Пользуясь сказанным, приведенное решение можно чуть сократить:
Примечание Дмитрия Гущина (Санкт-Петербург).
Приведенная в предыдущем примечании идея является частным случаем следующих общих и чрезвычайно полезных утверждений, которые несложно доказать, например, методом математической индукции.
Утверждение 1 (о равносильности логарифмических уравнений). Для обеспечения равносильности при использовании формул суммы логарифмов при решении уравнений вида
содержащих
|
Иными словами, избавляясь от логарифмов, одно любое условие можно опустить. Это свойство, основанное на том, что число, равное положительному, положительно, позволяет уменьшить число условий, например, в следующем случае (три логарифма переменных — два условия):
Или в задаче с параметром, предварительно избавившись от минуса перед логарифмом:
То же утверждение верно и для неравенств.
Утверждение 2 (о равносильности логарифмических неравенств). Для обеспечения равносильности при использовании формул суммы логарифмов при решении неравенств вида
содержащих
|
В этом случае, избавляясь от логарифмов, можно опустить одно, но не любое одно условие, а лишь стоящее в итоговом неравенстве справа от знака меньше (или, что то же самое, слева от знака больше). Не приводя доказательства для общего случая, заметим, что в каждом конкретном случае опираемся на то, что число, большее положительного, положительно. Проиллюстрируем сказанное примером:
Обратим внимание читателя, что при решении уравнений иногда можно не заботиться о равносильности преобразований, рассчитывая сделать проверку. Однако невозможно проверить подстановкой бесконечное количество решений неравенств. Поэтому, решая неравенства, непременно приходится следить за равносильностью преобразований. В простых задачах достаточно найти область определения, на которой преобразования равносильны. Но в сложных задачах, в частности в задачах с параметром, явно найти ОДЗ бывает затруднительно или даже невозможно. В таких случаях недостаточно, как это нередко бывает, записать в правом углу листа неравенства, задающие ОДЗ, решить те, что решаются, а остальные бросить. Необходимо хорошо понимать, как на каждом шаге решения сохранять равносильность преобразований. Помочь в этом и призваны приведенные рассуждения.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 2 |
| Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
В треугольнике АВС проведена биссектриса АМ. Прямая, проходящая через вершину В перпендикулярно АМ, пересекает сторону АС в точке N. АВ = 6; ВС = 5; АС = 9.
а) Докажите, что биссектриса угла С делит отрезок МN пополам.
б) Пусть Р — точка пересечения биссектрис треугольника АВС. Найдите отношение АР : РN.
Решение. а) Обозначим K точку пересечения отрезков AM и BN. Треугольник ABN равнобедренный, поскольку в нем AK является биссектрисой и высотой. Следовательно, AK является и медианой, то есть K — середина BN. Получаем, что AN = AB = 6, откуда NC = AC − AN = 3.
Рассмотрим треугольник ABC, биссектриса делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам: BM : MC = AB : AC, учитывая, что длина BC равна 5, получаем: BM = 2; MC = 3.
В треугольнике MNC стороны NC и MC равны, следовательно, треугольник MNC — равнобедренный, с основанием MN. Значит, биссектриса угла C также является медианой и высотой. Таким образом, получаем, что биссектриса угла С делит отрезок MN пополам.
б) Рассмотрим треугольник PMN: отрезок PO перпендикулярен прямой MN и делит её пополам, следовательно, треугольник PMN — равнобедренный с основанием MN. Значит, PM = PN и отношение AP : PN = AP : PM.
В треугольнике AMC отрезок CP — биссектриса, поэтому AP : PM = AC : MC = 3 : 1.
Ответ: 3 : 1.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Антон взял кредит в банке на срок 6 месяцев. В конце каждого месяца общая сумма оставшегося долга увеличивается на одно и то же число процентов (месячную процентную ставку), а затем уменьшается на сумму, уплаченную Антоном. Суммы, выплачиваемые в конце каждого месяца, подбираются так, чтобы в результате сумма долга каждый месяц уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину. Общая сумма выплат превысила сумму кредита на 63%. Найдите месячную процентную ставку.
Решение. Пусть сумма кредита S у. е., процентная ставка банка x %.
Предложение «Суммы, выплачиваемые в конце каждого месяца, подбираются так, чтобы в результате сумма долга каждый месяц уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину» означает: Антон взятую сумму возвращал в банк равными долями. Сумма, образованная применением процентной ставки, составляет:
(у. е.)
Общая сумма, выплаченная Антоном за 6 месяцев: 
(у. е.). А эта сумма по условию задачи равна 
у. е. Решим уравнение:
Ответ: 18.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 2 |
| Верно построена математическая модель | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно два различных решения.
Решение. Заметим, что на области определения системы уравнений справедлива равносильность
Тогда при условии существования логарифма 
имеем два случая:
(1) или 
(2)
Изобразим графики полученных уравнений и область определения — внутреннюю часть круга 
радиуса 3 с центром в начале координат (см. рис.) в одной системе координат. Определим, при каких значениях параметра уравнение (1) и система (2) совместно имеют ровно два решения, лежащие в области 
Рассмотрим уравнение (1). При
уравнение имеет одно решение — пару (−5; 0); точка (−5; 0) не лежит в 
При прочих значениях параметра уравнение имеет бесконечно много решений. Чтобы исходная система могла иметь ровно два решения, решения уравнения (1) должны лежать вне области определения системы: радиус окружности должен быть таким, что ни одна из ее точек не попадала в область Находим (см. рис.): 
или 
Рассмотрим систему (2). Окружность, задаваемая первым уравнением, может иметь с прямой, задаваемой вторым уравнением, 0, 1 или 2 общие точки. Определим, какие значения параметра соответствуют касанию. Из равнобедренного прямоугольного треугольника AOC найдем
откуда 
или 
Следовательно, при 
система имеет два решения. Оба они лежат в области
Тем самым, при 
исходная система уравнений имеет ровно два решения.
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получено множество значений а, отличающееся от искомого только включением или исключением точек граничных точек | 3 |
| Решение содержит грубую логическую ошибку | 2 |
| Верно построено множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнениям | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля), не кратное 100.
а) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 90?
б) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 88?
в) Какое наибольшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр?
Решение. Пусть данное число равно 100a + 10b + c, где a, b и c — цифры сотен, десятков и единиц соответственно. Если частное этого числа и суммы его цифр равно k, то выполнено 
а) Если частное равно 
то 
что верно, например, при 
— частное числа 
и суммы его цифр равно 
б) Если частное равно 
то 
Так как a < 10, то 
или 
В обоих этих случаях не существует натурального числа a, удовлетворяющего уравнению. Значит, частное трёхзначного числа и суммы его цифр не может быть равным 88.
в) Пусть k — наибольшее натуральное значение частного числа, не кратного 
и суммы его цифр. Тогда
Учитывая, что 
получаем:
откуда 
Частное числа 
и суммы его цифр равно 
Значит, наибольшее натуральное значение частного трёхзначного числа, не кратного и суммы его цифр равно 91.
Ответ: а) да; б) нет; в) 91.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты. | 4 |
| Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 3 |
| Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 2 |
| Верно получен один из следующих результатов: ― обоснованное решение п. а; ― обоснованное решение п. б; ― искомая оценка в п. в; ― пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
логарифмов переменной величины, достаточно 
условия на аргументы логарифмов:
(для 
рассуждения аналогичны), тогда
