На сайте школы идет голосование на звание «Лучший ученик года», где каждый посетитель голосует только за одного из претендентов. Рейтинг каждого претендента (доля голосов, отданных за него) выражается в процентах, округленных до целого числа. Например, числа 9,3; 17,5 и 19,9 округляются до 9; 18 и 20 соответственно.
а) Всего проголосовало 13 посетителей сайта. Мог ли рейтинг одного из претендентов равняться 41?
б) Пусть претендентов четверо. Могла ли сумма рейтингов быть больше 100?
в) На сайте отображалось, что рейтинг некоторого претендента равнялся 5. Это число не изменилось и после того, как Игорь проголосовал за него. При каком наименьшем числе отданных за всех претендентов голосов, включая Игоря, такое возможно?
а) Пусть k — число посетителей, проголосовавших за ученика. Заметим, что рейтинг ученика будет равен 41, если доля голосов, отданных за него, лежит в пределах от 40,5% до 41,5%. Таким образом, получаем двойное неравенство:
Число k — целое, следовательно, оно не может лежать в полученном интервале.
б) Пусть число проголосовавших равно 1000. Из них за первого ученика — 255 человек, за второго — 256, за третьего — 257, за последнего — остальные 232. Тогда их рейтинги равны 26 + 26 + 26 + 23 = 101 > 100.
в) Пусть k — число голосов, отданных за ученика, включая голос Игоря, n — общее число голосов. Заметим, что после того как Игорь отдал свой голос за данного ученика, доля голосов, отданных за этого ученика увеличилась, а рейтинг — нет. Получаем:
Представляя в виде системы двух неравенств получим:
Так как n — целое, то 
Учитывая, что должны выполняться все неравенства системы, получим:
Так как k — целое, то 
Тогда из неравенства 
получаем:
Следовательно, 
При 
условие задачи выполнено. Значит, минимальное число проголосовавших при условиях, данных в задаче, равно 110.
Ответ: а) нет, б) да, в) 110.