Ре­ше­ние. а)  За­ме­тим, что вы­ра­же­ния под ло­га­риф­ма­ми долж­ны быть по­ло­жи­тель­ны, а зна­ме­на­тель не равен нулю, то есть корни урав­не­ния долж­ны удо­вле­тво­рять сле­ду­ю­щим усло­ви­ям:

При вы­пол­не­нии этих усло­вий урав­не­ние рав­но­силь­но со­во­куп­но­сти

Усло­ви­ям удо­вле­тво­ря­ет (см. рис.) толь­ко

б)  Имеем:

Един­ствен­ным ре­ше­ни­ем по­лу­чен­но­го двой­но­го не­ра­вен­ства яв­ля­ет­ся ко­то­ро­му со­от­вет­ству­ет ко­рень

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. а)  Пусть плос­кость α пе­ре­се­ка­ет ребро AA₁ в точке R. За­ме­тим, что по­лу­чен­ное се­че­ние DRMQ  — па­рал­ле­ло­грамм. Его диа­го­наль QR па­рал­лель­на пря­мым AC и A₁C₁. Пусть те­перь O  — точка пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей DRMQ, а O′   — её про­ек­ция на ос­но­ва­ние ABCD. За­ме­тим те­перь, ARQC  — пря­мо­уголь­ник, и Точка O  — се­ре­ди­на MD, а O′   — се­ре­ди­на BD. Сле­до­ва­тель­но, OO′   — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка DBM. Тогда

то есть

б)  За­ме­тим, что тре­уголь­ни­ки DAR и DCQ равны, сле­до­ва­тель­но, и, зна­чит, DRMQ  — ромб. Найдём его диа­го­на­ли:

Тогда

Ответ: б)

Ре­ше­ние. В силу фор­му­лы имеем:

при усло­ви­ях

Ис­поль­зуя фор­му­лу по­лу­ча­ем:

Пусть За­ме­тим, что при любых зна­че­ни­ях x. Имеем:

Вернёмся к ис­ход­ной пе­ре­ме­ной:

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Рас­смот­рим окруж­ность, по­стро­ен­ную на AC как на диа­мет­ре. Углы AEC и ADC равны 90°, сле­до­ва­тель­но, E и D лежат на этой окруж­но­сти. Углы EDA и ECA равны как впи­сан­ные, зна­чит, тре­уголь­ни­ки EDP и APC по­доб­ным по двум углам. Ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия равен зна­чит, и от­но­ше­ние ра­ди­у­сов равно 5 : 13.

б)  Пусть M  — се­ре­ди­на ED, N  — се­ре­ди­на AC, AC  — диа­метр окруж­но­сти, про­хо­дя­щей через E и D. Тогда

сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ни­ке NED  — рав­но­бед­рен­ный, NM  — ме­ди­а­на и вы­со­та.

Тогда

от­ку­да

Ответ: а) 5 : 13, б) 12.

Ре­ше­ние. Пусть сумма вкла­да равна S, и вклад был от­крыт на n ме­ся­цев. По усло­вию, Пусть пер­вые k ме­ся­цев у Алек­сан­дры про­цент­ная став­ка со­ста­ви­ла 81,44% в месяц. Тогда

От­ку­да

Пре­об­ра­зу­ем дробь:

Тогда

С учётом огра­ни­че­ний на n су­ще­ству­ет толь­ко три ре­ше­ния: или Зна­чит, наи­боль­шее ко­ли­че­ство ме­ся­цев, ко­то­рое могла дей­ство­вать став­ка 81,44%, равно трём.

Ответ: 3 ме­ся­ца.

Ре­ше­ние. Пре­об­ра­зу­ем си­сте­му:

За­ме­тим, что не яв­ля­ет­ся кор­нем вто­ро­го урав­не­ния, а зна­чит, и ре­ше­ни­ем си­сте­мы. Тогда, обе части вто­ро­го урав­не­ния си­сте­мы можно раз­де­лить на

Во вто­ром урав­не­нии каж­до­му зна­че­нию x, кроме со­от­вет­ству­ет ровно одно зна­че­ние Зна­чит, ко­ли­че­ство ре­ше­ний си­сте­мы равно ко­ли­че­ству ре­ше­ний пер­во­го урав­не­ния си­сте­мы. За­ме­тим, что

Тре­бу­ет­ся найти при каких зна­че­ни­ях па­ра­мет­ра a урав­не­ние (*) имеет ровно один ко­рень, не рав­ный −2.

При урав­не­ние яв­ля­ет­ся ли­ней­ным и имеет один ко­рень

При урав­не­ние яв­ля­ет­ся квад­рат­ным. Найдём его дис­кри­ми­нант и ис­сле­ду­ем его:

По­лу­ча­ем, что:

  — при урав­не­ние имеет ровно один ко­рень;

  — при урав­не­ние не имеет кор­ней;

  — при урав­не­ние имеет два корня.

Оста­лось вы­яс­нить, при каких зна­че­ни­ях па­ра­мет­ра a кор­нем урав­не­ния (*) яв­ля­ет­ся число −2. Под­ста­вим:

Зна­чит, ис­ход­ная си­сте­ма имеет един­ствен­ное ре­ше­ние при или или

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Да, на­при­мер, можно рас­по­ло­жить мо­не­ты так:

б)  Нет. Ми­ни­маль­но воз­мож­ные суммы со­став­ля­ют 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5  =  15 монет, при этом каж­дая мо­не­та счи­та­ет­ся ровно два раза. Зна­чит, их ко­ли­че­ство не мень­ше

в)  Из преды­ду­ще­го пунк­та ясно, что обой­тись менее чем 8 мо­не­та­ми не­воз­мож­но; 8 монет можно раз­ме­стить, на­при­мер, так:

Ответ: а) да; б) нет; в) 8.