Ре­ше­ние. a)  Пусть тогда имеем:

Вернёмся к ис­ход­ной пе­ре­мен­ной:

б)  При по­мо­щи еди­нич­ной окруж­но­сти отберём корни, ле­жа­щие на от­рез­ке По­лу­ча­ем числа

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. а)  Вы­чис­лим объём пи­ра­ми­ды ABMN двумя спо­со­ба­ми:

За­ме­тим те­перь, что так как вы­со­ты этих пи­ра­мид, опу­щен­ные из вер­ши­ны A, сов­па­да­ют. Таким об­ра­зом, При этом, по тео­ре­ме об от­но­ше­нии пло­ща­дей тре­уголь­ни­ков с рав­ным углом,

Сле­до­ва­тель­но, то есть

б)  Так как из п. а) на­хо­дим, что Вы­чис­лим объём ABMN тре­тьим спо­со­бом:

от­сю­да Пусть угол между плос­ко­стя­ми ABC и AMN равен α. За­ме­тим, что тре­уголь­ник AMB есть про­ек­ция тре­уголь­ни­ка AMN на плос­кость ABC. Тогда от­ку­да

Ответ: б)

Ре­ше­ние. Пусть тогда имеем:

Вернёмся к ис­ход­ной пе­ре­мен­ной:

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Пусть точка H  — се­ре­ди­на AC, точка E  — про­ек­ция D на AC. По обобщённой тео­ре­ме Фа­ле­са, па­рал­лель­ные пря­мые, пе­ре­се­ка­ю­щие сто­ро­ны угла, от­се­ка­ют от сто­рон угла про­пор­ци­о­наль­ные от­рез­ки. По­это­му По­ло­жим тогда

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке вы­со­та, про­ве­ден­ная к ги­по­те­ну­зе равна, сред­не­му гео­мет­ри­че­ско­му про­ек­ций ка­те­тов на ги­по­те­ну­зу:

Пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки тре­уголь­ни­ки BHC и DEС по­доб­ны, по­сколь­ку имеют общий ост­рый угол, по­это­му от­ку­да что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  При­ме­ним тео­ре­му Пи­фа­го­ра к пря­мо­уголь­но­му тре­уголь­ни­ку ADE: По усло­вию, от­ку­да Тогда:

Ответ: б) 40.

При­ведём дру­гое ре­ше­ние.

а)  Пусть точка H  — се­ре­ди­на AC, точка M  — про­ек­ция D на BH. Тре­уголь­ни­ки AOH и DOM по­доб­ны, сле­до­ва­тель­но, от­ку­да Тре­уголь­ни­ки BMD и BHC по­доб­ны, сле­до­ва­тель­но,

от­ку­да Тре­уголь­ник ABD  — пря­мо­уголь­ный, тогда

Зна­чит,

Тре­уголь­ник ADC  — пря­мо­уголь­ный, тогда:

Таким об­ра­зом,

б)  Найдём пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC:

Ре­ше­ние. Пусть сумма, на ко­то­рую дол­жен еже­ме­сяч­но умень­шать­ся долг, равна x тыс. руб. В со­от­вет­ствии с усло­ви­ем за­да­чи за­пол­ним таб­ли­цу.

Номер ме­ся­ца	Долг после на­чис­ле­ния про­цен­тов, тыс. руб.	Вы­пла­та, тыс. руб.	Долг, тыс. руб.
			600
1
2
...	...	...	...
	...	...
n
		102	0

Из ра­вен­ства по­лу­ча­ем, что Тогда сумма вы­плат равна

Учи­ты­вая, что сумма вы­плат, по усло­вию, равна 691 тыс. руб. и что по­лу­ча­ем:

Ответ: 12.

Ре­ше­ние. За­ме­ним вто­рое урав­не­ние си­сте­мы раз­но­стью пер­во­го и вто­ро­го урав­не­ний и решим по­лу­чен­ную си­сте­му:

Си­сте­ма имеет ре­ше­ние толь­ко при

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Рас­ста­нов­ка

дает суммы 0, 6, 8 в стро­ках и 2, 4, 8 в столб­цах, то есть поз­во­ля­ет вы­пол­нить план на по­не­дель­ник, втор­ник и среду.

б)  Все воз­мож­ные суммы  — чет­ные числа от 0 до 12. Но их всего 7, по­это­му по­лу­чить 8 раз­ных сумм не по­лу­чит­ся.

в)  До­ка­жем, что цель на чет­верг не­до­сти­жи­ма. Из сумм 0, 2, 4, 6, 8, 10 и 12 долж­ны быть по­лу­че­ны все, кроме одной. При этом их общая сумма равна удво­ен­ной сумме всех чисел в таб­ли­це, по­это­му она крат­на 4. Зна­чит, из суммы 0 + 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12  =  42 нужно уда­лить сла­га­е­мое 2, 6 или 10. Сле­до­ва­тель­но, сла­га­е­мые 0 и 12 долж­ны остать­ся, а тогда в таб­ли­це есть ряд из одних нулей и ряд из одних чет­ве­рок. Оче­вид­но, они па­рал­лель­ны. Пусть, для опре­де­лен­но­сти, они будут за­пи­са­ны в стро­ках. Тогда в тре­тьей стро­ке все числа долж­ны быть раз­лич­ны (иначе сов­па­дут суммы в двух столб­цах). Зна­чит, эта таб­ли­ца с точ­но­стью до пе­ре­ста­нов­ки строк и столб­цов вы­гля­дит так, как по­ка­за­но ниже.

Но в этой таб­ли­це два­жды по­вто­рит­ся сумма 6. По­это­му план на чет­верг, а с ним на пят­ни­цу и на суб­бо­ту не­вы­пол­ни­мы. Планы на преды­ду­щие три дня вы­пол­ни­мы, при­мер при­ве­ден в пунк­те а).

Ответ: а) да; б) нет; в) за чет­верг, пят­ни­цу, суб­бо­ту.