Ре­ше­ние. a)  Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние:

б)  При по­мо­щи еди­нич­ной окруж­но­сти отберём корни, ле­жа­щие на от­рез­ке По­лу­ча­ем числа

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. а)  От­ре­зок MN яв­ля­ет­ся сред­ней ли­ни­ей тре­уголь­ни­ка ABC, сле­до­ва­тель­но, Таким об­ра­зом, се­че­ние пе­ре­се­ка­ет грань SAC по пря­мой, также па­рал­лель­ной AC. Пусть L  — точка пе­ре­се­че­ния се­че­ния с реб­ром SC, тогда а се­че­ние KLMN  — рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция.

Рас­смот­рим се­че­ние пи­ра­ми­ды плос­ко­стью BSH, где H  — се­ре­ди­на сто­ро­ны AC. Пусть R и T  — се­ре­ди­ны ос­но­ва­ний MN и KL тра­пе­ции со­от­вет­ствен­но. Тогда вы­со­та тра­пе­ции RT про­хо­дит через точку Q пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей тра­пе­ции, причём так как а из по­до­бия тре­уголь­ни­ков KLQ и MNQ, по­лу­ча­ем От­ре­зок TR и вы­со­та пи­ра­ми­ды SO лежат в плос­ко­сти BSH. Пусть они пе­ре­се­ка­ют­ся в точке Q'. До­ка­жем, что она сов­па­да­ет с точ­кой Q. В се­че­нии BSH про­ведём от­ре­зок TW па­рал­лель­но BH, где W  — точка на вы­со­те пи­ра­ми­ды. Тре­уголь­ни­ки TQ'W и RQ'O по­доб­ны. При этом

Таким об­ра­зом, а, зна­чит, точки Q' и Q сов­па­да­ют, и Q лежит на вы­со­те пи­ра­ми­ды SO.

б)  Так как то а Оста­лось найти вы­со­ту тра­пе­ции RT. Из пунк­та а) по­лу­ча­ем, что при этом Сле­до­ва­тель­но, Тогда

От­ку­да

Ответ:

Ре­ше­ние. Пре­об­ра­зу­ем не­ра­вен­ство:

Пусть тогда

Вернёмся к ис­ход­ной пе­ре­мен­ной:

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Пусть M  — точка ка­са­ния окруж­но­сти и AB, N  — точка ка­са­ния окруж­но­сти и AC, OH  — пер­пен­ди­ку­ляр из точки O на AD. Тогда сле­до­ва­тель­но,

Зна­чит, Сле­до­ва­тель­но, и От­сю­да AMOH  — па­рал­ле­ло­грамм с пря­мым углом, сле­до­ва­тель­но, AMOH  — пря­мо­уголь­ник. Зна­чит,

б)  Имеем:

Пусть тогда

Далее, по­лу­ча­ем:

Те­перь найдём пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD:

Ответ: 672.

Ре­ше­ние. Пусть пер­во­на­чаль­ная сумма вкла­да равна B пер­во­на­чаль­ная цена кир­пи­ча равна K. В со­от­вет­ствии с усло­ви­ем за­да­чи за­пол­ним таб­ли­цу:

	1 сен­тяб­ря	1 ок­тяб­ря	1 но­яб­ря
Сумма вкла­да	B
Цена од­но­го кир­пи­ча	K

1 сен­тяб­ря можно было ку­пить кир­пи­чей. После из­ме­не­ния цен 1 но­яб­ря можно было ку­пить

кир­пи­чей. Зна­чит, 1 но­яб­ря можно было ку­пить на 44% кир­пи­ча боль­ше, чем 1 сен­тяб­ря.

Ответ: 44.

Ре­ко­мен­ду­ем срав­нить это за­да­ние с ана­ло­гич­ным за­да­ни­ем из 216-го ва­ри­ан­та А. Ла­ри­на.

Ре­ше­ние. За­ме­тим, что если то a Сде­ла­ем за­ме­ну тогда Те­перь пе­ре­фор­му­ли­ру­ем за­да­чу: тре­бу­ет­ся найти все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние имеет един­ствен­ный ко­рень на про­ме­жут­ке

Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

За­ме­тим, что при пра­вая часть урав­не­ния мо­но­тон­но убы­ва­ет (как сумма мо­но­тон­но убы­ва­ю­щих функ­ций) и каж­дое своё зна­че­ние при­ни­ма­ет ровно один раз. Зна­чит, урав­не­ние и вся си­сте­ма не могут иметь более од­но­го ре­ше­ния.

При этом, если то если то Зна­чит, при урав­не­ние имеет одно ре­ше­ние на от­рез­ке при

Оста­лось ис­клю­чить зна­че­ние па­ра­мет­ра, при ко­то­ром Если то

Таким об­ра­зом, ис­ход­ное урав­не­ние имеет един­ствен­ный ко­рень на про­ме­жут­ке при или

Ответ:

При­ме­ча­ние.

По­лез­но срав­нить это за­да­ние с за­да­ни­ем 505039 из ЕГЭ−2013.

Ре­ше­ние. а)  Пусть ровно треть задач лег­кие, а осталь­ные  — труд­ные. Пусть треть школь­ни­ков решит все лег­кие за­да­чи и ровно по­ло­ви­ну труд­ных, а дру­гая треть школь­ни­ков решит все лег­кие за­да­чи и дру­гую по­ло­ви­ну труд­ных. По­след­няя треть школь­ни­ков пусть не решит ни­че­го. Тогда все усло­вия вы­пол­не­ны.

б)  Пусть труд­ных задач всего Т, а лег­ких задач  — Л. Пусть школь­ни­ков всего Ш, и общее ко­ли­че­ство всех ре­шен­ных задач равно Р. Тогда по­лу­ча­ют­ся сле­ду­ю­щие не­ра­вен­ства:

От­сю­да сле­ду­ет не­ра­вен­ство:

По­де­лим все на 0,75Ш и пре­об­ра­зу­ем не­ра­вен­ство:

но тогда Т ≤  Л, а по усло­вию долж­но вы­пол­нять­ся не­ра­вен­ство Т ≥ 3Л. Про­ти­во­ре­чие.

в)  Пусть обо­зна­че­ния такие же, как в пунк­те б), тогда ана­ло­гич­но по­лу­ча­ем не­ра­вен­ства:

После ана­ло­гич­ных пре­об­ра­зо­ва­ний по­лу­ча­ем, что с одной сто­ро­ны Т ≤ 1,5Л, а с дру­гой, по усло­вию Т ≥  Л. Про­ти­во­ре­чие.

Ответ: а) да; б) да, из­ме­нит­ся; в) да, из­ме­нит­ся.

----------

Почти дуб­ли­ру­ет за­да­ние 506031 из 31-го ва­ри­ан­та А. Ла­ри­на.