Ре­ше­ние. a)  Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние:

б)  При по­мо­щи еди­нич­ной окруж­но­сти отберём корни, ле­жа­щие на за­дан­ном от­рез­ке (см. рис.). В него по­па­да­ют числа

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. а)  Рас­смот­рим тре­уголь­ник SEB. В нём MN  — сред­няя линия, сле­до­ва­тель­но, Кроме того, и как одна из глав­ных диа­го­на­лей ше­сти­уголь­ни­ка. Зна­чит, и сле­до­ва­тель­но, AMNF  — па­рал­ле­ло­грамм, и пря­мая

б)  Рас­сто­я­ние от точки E до AM равно вы­со­те h_E тре­уголь­ни­ка AEM, про­ведённой из вер­ши­ны E. Найдём сто­ро­ны этого тре­уголь­ни­ка. Сто­ро­на как малая диа­го­наль ше­сти­уголь­ни­ка,

Те­перь найдём по фор­му­ле Ге­ро­на:

от­ку­да

Ответ:

Ре­ше­ние. Пусть пред­ста­вим пер­вый мно­жи­тель в чис­ли­те­ле в виде

Вто­рой мно­жи­тель чис­ли­те­ля пред­ста­вим в виде

Для ра­ци­о­на­ли­за­ции не­ра­вен­ства за­ме­тим, что раз­ность имеет тот же знак, что и раз­ность Кроме того, на ОДЗ ло­га­риф­ма раз­ность и раз­ность также имеют оди­на­ко­вые знаки. На­ко­нец, оди­на­ко­вые знаки имеют вы­ра­же­ния и По­сле­до­ва­тель­но за­ме­няя мно­жи­те­ли в чис­ли­те­ле вы­ра­же­ни­я­ми того же знака и учи­ты­вая ОДЗ, по­лу­чим рав­но­силь­ное не­ра­вен­ство:

Ответ:

Ре­ше­ние. Пусть M и N  — точки ка­са­ния внев­пи­сан­ной окруж­но­сти с пря­мы­ми BA и BC. За­ме­тим, что Тогда

б)  На­хо­дим:

Сле­до­ва­тель­но,

Ответ: 1.

Ре­ше­ние. Пусть сумма кре­ди­та равна руб., по­вы­ша­ю­щий ко­эф­фи­ци­ент равен а еже­ме­сяч­ный платёж рав­ня­ет­ся руб. В со­от­вет­ствии с усло­ви­ем за­да­чи за­пол­ним таб­ли­цу:

По­лу­чим и решим урав­не­ние:

от­ку­да

Тогда

Ответ не­об­хо­ди­мо дать с точ­но­стью до 1 руб, округ­лив в боль­шую сто­ро­ну. По­лу­ча­ем, что руб.

Ответ: 21 984 руб.

Ре­ше­ние. За­пи­шем урав­не­ние в виде и за­ме­тим, что оно имеет три раз­лич­ных корня тогда и толь­ко тогда, гра­фик функ­ции имеет ровно три общие точки с пря­мы­ми

Функ­ция f опре­де­ле­на и диф­фе­рен­ци­ру­е­ма на при­чем при Найдём про­из­вод­ную:

Кри­ти­че­ские точки: От­ме­тим на ри­сун­ке знаки про­из­вод­ной и по­ве­де­ние функ­ции, най­дем экс­тре­му­мы функ­ции:

Гра­фик функ­ции f изоб­ра­жен на ри­сун­ке. Из гра­фи­ка видно, что ис­ход­ное урав­не­ние:

− при имеет два корня;

− при   — три корня;

− при   — че­ты­ре корня;

− при   — три корня;

− при   — два корня;

− при   — один ко­рень;

− при   — кор­ней нет.

Таким об­ра­зом, ис­ход­ное урав­не­ние имеет ровно три раз­лич­ных корня при или

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Нет, нель­зя. Оче­вид­но, что если номер тома кра­тен трем, то и но­ме­ра со­сед­них с ним томов тоже. По­это­му, начав с тома 3, по­лу­чим, что но­ме­ра всех томов долж­ны быть крат­ны трем.

б)  Да, рас­ста­нов­ка 1, 2, 3, ..., 12 удо­вле­тво­ря­ет усло­вию за­да­чи.

в)  Нет. До­пу­стим, что это воз­мож­но. Рас­смот­рим пять томов, сто­я­щих под­ряд. По­сколь­ку сумма но­ме­ров пер­вых че­ты­рех из них и по­след­них че­ты­рех из них крат­ны трем, но­ме­ра пер­во­го и пя­то­го томов дают оди­на­ко­вые остат­ки от де­ле­ния на 3. Итак, раз­ность но­ме­ров томов, сто­я­щих через три, все­гда крат­на трем. Зна­чит, на на­бо­рах мест 1, 5, 9; 2, 6, 10; 3, 7, 11 и 4, 8, 12 стоят тома с оди­на­ко­вы­ми остат­ка­ми но­ме­ров от де­ле­ния на 3. Раз­лич­ных остат­ков от де­ле­ния на 3 всего три (0, 1 и 2), по­это­му в двух ука­зан­ных на­бо­рах оста­ток один и тот же. Зна­чит, среди чисел 1, 2, ..., 12 долж­но быть шесть чисел с таким остат­ком. Но на самом деле среди чисел от 1 до 12 каж­дый оста­ток от де­ле­ния на 3 встре­ча­ет­ся ровно че­ты­ре раза.

Ответ: а) нет, б) да, в) нет.